东海县第二中学2014-2015高三年级第二次学情调查
数 学 试 题
满分：160分 时间：120分钟
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)
1．已知全集 ,集合 , ,则 ▲ ．
2．若 是定义在R上的函数，则“ =0”是“函数 为奇函数”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）．
3．公比为 的等比数列 的各项都是正数，且 ，则 ▲ ．
4．函数 的最小正周期是 ▲ ．
5．不等式 的解集为 ▲ ．
6．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为___▲____．
7．已知向量 是两个不共线的向量，若 与 共线，则 = ▲ ．
8．已知函数 ( 为常数)，若 在区间 上是增函数，则 的取值范围是 ▲ ．
9．函数 的值域为 ▲ ．
10．如图，在正三棱柱 中，若各条棱长均为2，且M为 的中点，则三棱锥 的体积是 ▲ ．
11．设函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则关于 的不等式 的解集是 ▲ ．
12．已知二次函数 的值域是 ，则 的最小值是 ▲ .
13．如图，已知 中， ， ， 是
的中点，若向量 ，且 的终点 在
的内部（不含边界），则 的取值范围是 ▲ ．
14．定义在 上的可导函数 ,已知 的图象如图所示，
则 的增区间是 .
二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（本小题满分14分）已知 ．
（1）求 的值；
（2）若k为实数，求 的最小值．
[
16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且 ．
（1）求证： ；
（2）若平面 与平面 的交线为 ，求证： ．
17．（本小题满分15分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知 为直径，且 km, 为圆心， 为圆周上靠近 的一点， 为圆周上靠近 的一点，且 ∥ ．现在准备从 经过 到 建造一条观光路线，其中 到 是圆弧 ， 到 是线段 .设 ，观光路线总长为 .
（１）求 关于 的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（２）求观光路线总长的最大值.
18．（本小题满分15分）设函数 .
（1）求函数 在 的最大值与最小值；
（2）若实数 使得 对任意 恒成立，求 的值.
19．（本小题满分16分）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．数列 的前 项和为 ，满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）写出一个正整数 ，使得 是数列 的某一项；
（3）设数列 的通项公式为 ，问：是否存在正整数 和 ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对 ；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）已知函数
（1）求 的单调增区间和最小值；
（2）若函数y= 与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值；
（3）若 时，函数 的图象恰好位于两条平行直线 之间，当 间的距离最小时，求实数m的值．
高三年级第二次调研考试
数学试题参考答案
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．{4} 2．必要不充分 3．32 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
11． 12．3 13． 14．（-∞，2）
二、解答题 (本大题共6个小题，共90分)
16．（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．
因为四边形ABCD为菱形，所以 ……2分
又因为 ，O为BD的中点，
所以 ……………………………………4分
又因为
所以 ，
又因为
所以 ……………………………………7分
（2）因为四边形ABCD为菱形，所以 …………………………9分
因为 ．
所以 ……………………………………11分
又因为 ，平面 平面 ．
所以 ． ………………………………………………14分
17．(1)由题意知， ， …………………………………2分
， …………………………………5分
因为 为圆周上靠近 的一点， 为圆周上靠近 的一点，且 ，
所以
所以 ， …………………………………………7分
(2)记 ,则 ， ………………………………9分
令 ，得 ， ………………………………………………11分
列表
x (0， )
( ， )
＋ 0 －
f (x) 递增 极大值 递减
所以函数 在 处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………14分
即 ，
答：观光路线总长的最大值为 千米． ……………………………15分
18．【知识点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】（1）最大值为3；最小值为2（2）-1
（1）f（x）=sinx+ cosx+1=2（ sinx+ cosx）+1=2sin（x+ +1
∵x∈[0， ]，∴x+ ∈[ ， ]∴ ≤sin（x+ ）≤1，
∴2≤2sin（x+ ）+1≤3∴函数f（x）在[0， ]的最大值为3；最小值为2．
（2）af（x）+bf（x-c）=a[2sin（x+ ）+1]+b[2sin（x+ -c）+1]=1
2asin（x+ ）+2bsin（x+ -c）+1=1-a-b
2asin（x+ ）+2bsin（x+ ）cosc-2bcos（x+ ）sinc=1-a-b
（2a+2bcosc）sin（x+ ）-（cos（x+ ）=1-a-b
sin（x+ + ）=1-a-b
因为上式对一切的x恒成立，所以 =0
∴ ∴由2a+2bcosc=0得： =-1．
【思路点拨】（1）先把函数f（x）=sinx+ cosx+1化成标准形式，然后再求最值；
（2）代入f（x）整理，化成标准形式，根据对任意x∈R恒成立，让系数等于0，求得 的值．
19.解：（1）设 首项为 ，公差为 ，由已知有 ……2分
解得 ， ，所以 的通项公式为 ( ). .……4分
（2）当 时， ，所以 ． .……5分
由 ，得 ，两式相减，得 ，故 ，
所以， 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ． ………7分
，
要使 是 中的项，只要 即可，可取 ． ………9分
（只要写出一个 的值就给分，写出 ， ， 也给分）
（3）由（1）知， ，
要使 ， ， 成等差数列，必须 ， …………12分
即 ，化简得 ． …………14分
因为 与 都是正整数，所以 只能取 ， ， ．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
综上，存在符合条件的正整数 和 ，
所有符合条件的有序整数对 为(2,7)，(3,5)，(5,4)． …………16分
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