上海市宝山区2015届高三上学期期末质量监测
数学试题
一.（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得 0 分．
1. 函数 的周期是 ．
2.计算 = ．
3.计算 ＝ ．
4.二项式 展开式中， 的系数为 ．
5．设矩阵 ， ，若 ，则 .
6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有 种.
7．若 ， ，则 ．
8.若一个球的体积为 ，则它的表面积为__________．
9.若函数 是 上的偶函数，则 的值是 ．
10.正四棱锥 的所有棱长均相等， 是 的中点，那么异面直线 与 所成的角的余弦值等于 ．
11.直线 被曲线 所截得的弦长等于 ．
12.已知函数 的部分图像如图所示，
则 的解析式是 ．
二．选择题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得 3分，否则一律得 0 分．
13．已知点 在第三象限，则角 的终边在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
14．已知函数 ， 是增函数，则 （ ）
（A） ， 是任意实数 （B） ， 是任意实数
（C） ， 是任意实数 （D） ， 是任意实数
15．在 中，若 ，则这个三角形中角 的值是（ ）
（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或
16.若 ，则（ ）
17.双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为（ ）
（A） （B）2 （C） （D）1
18.用数学归纳法证明等式 （n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
19.设 （ 是虚数单位），则复数 对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限w.w.w..c.o.m
20.圆 在点 处的切线方程为 ( )
（A） （B）
（C） （D）
21.“ ”是“ ”的（ ）
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；
（C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件.
22. 在四边形ABCD中, , ,则四边形的面积为（ ）
（A） （B） （C）5 （D）10
23．函数 的反函数是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
24．曲线 的部分图像是（ ）
（A） （B）
(C) （D）
三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
25.（本题满分 8 分）
解不等式组
26.（本题满分 8 分）
如图，正四棱柱 的底面边长 ，
若异面直线 与 所成角的大小为 ，求正四棱
柱 的体积.
27．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．
已知点 为抛物线 的焦点，点 是准线 上的动点，直线 交抛物线 于 两点，若点 的纵坐标为 ，
点 为准线 与 轴的交点．
(1)求直线 的方程；
(2)求 面积 的取值范围．
28.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．
已知函数 ．
（1）写出函数 的奇偶性；
（2）当 时，是否存实数 ，使 的图像在函数 图像的下方，若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由．
29.（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分4分，第 3 小题满分5分．
已知抛物线 ，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点 ，又过点 作斜率为 的直线交抛物线于点 ，再过 作斜率为 的直线交抛物线于点 ， ，如此继续。一般地，过点 作斜率为 的直线交抛物线于点 ，设点 ．
（1）求 的值；
（2）令 ，求证：数列 是等比数列；
（3）记 为点列 的极限点，求点 的坐标．
四、附加题（本大题满分 30 分）本大题共有 3 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
30.（本题满分 8 分）
有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框
架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积
最大（中间木档的面积可忽略不计）.
31.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．
在平面直角坐标系 中，点 到两点 、 的距离之和等于4．设点 的轨迹为 ．
(1)写出轨迹 的方程；
(2)设直线 与 交于 、 两点，问 为何值时 此时| |的值是多少？
32．（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3分，第 2 小题满分 4分，第 3小题满分5 分．
设数列 的首项 为常数，且 ．
（1）证明： 是等比数列；
（2）若 ， 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若 是递增数列，求 的取值范围．
二．选择题
13．（ B ） 14．（A ） 15．（D） 16.（B） 17.（ A ） 18.（ B ）
19.（ A ） 20. ( D ) 21.（ B ） 22.（ C ） 23.（D） 24．（ C ）
三、解答题
25. 由题意得：
由（1）解得 ………………………………………………………3分
由（2）解得 …………………………………………………………6分
所以，不等式解集为（3,4） ………………………………………8分
26.
且 ………………………………………4分
………………………………6分
………………………8分
27． 解：（1）由题知点 的坐标分别为 ， ，
于是直线 的斜率为 ， ………………………………………2分
所以直线 的方程为 ，即为 ． …………………4分
（2）设 两点的坐标分别为 ，
由 得 ，
所以 ， ． ……………………………………6分
于是 ． ………………………………………7分
点 到直线 的距离 ， ………………………8分
所以 .
因为 且 ，于是 ，所以 的面积 范围是 ．……10分
28.解：（1）因为 的定义域为 ，所以 …………………………1分
当 时， 是奇函数； ……………………………2分
当 时， 是非奇非偶函数． ………………………4分
（2）若 的图像在函数 图像的下方，
则 ，化简得 恒成立， ………………………………6分
因为 ， ……………………………………………………………8分
所以，当 时， 的图像都在函数 图像的下方．……10分
29. 解：（1）直线 的方程为 ，由 解得 ，……1分
直线 的方程为 ，即
由 得 ，…………………………………2分
直线 的方程为 ，即
由 解得，
所以 ． ………………………………………………………3分
（2）因为 ， ，由抛物线的方程和斜率公式得到
………………………………………………5分
所以 ，两式相减得 …………………………6分
用 代换 得 ，
由（1）知，当 时，上式成立，
所以 是等比数列，通项公式为 ． ……………………………………7分
（3）由 得，
， ，……， ， ……………………8分
以上各式相加得 ，……………………………………………………10分
所以 ， ．
即点 的坐标为 ． ……………………………………………………………12分
四、附加题
30. 解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 7x
∴窗框的高为3x，宽为 ． ……………………………2分
即窗框的面积 y = 3x • =7x2 + 6x ( 0 < x < ) ……5分
配方：y = ( 0 < x < 2 ) ……………………7分
∴当x = 米时，即上框架高为 米、下框架为 米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大. …………………………………………………………………………8分
31. 解：（1）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹 是以 为焦点，长半轴为2的椭圆. ………………………………………………………………2分
它的短半轴
故曲线C的方程为 ．………………………………………………………4分
（2）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ，
故 ． …………………………………………5分
由 ，即 ． ………………………………………………6分
而 ，
于是 ．
所以 时， ，故 ．…………………………………8分
当 时， ， ．
，
而 ，
所以 ．……………………………………………………………10分
32． 证明：（1）因为 ，所以数列 是等比数列；……3分
（2） 是公比为－2，首项为 的等比数列．
通项公式为 ， …………………4分
若 中存在连续三项成等差数列，则必有 ，
即
解得 ，即 成等差数列． ………………………………………7分
（3）如果 成立，即 对任意自然数均成立．
化简得 …………………………………………9分
当 为偶数时 ,
因为 是递减数列，所以 ，
即 ； ……………………………………………………………10分
当 为奇数时， ,因为 是递增数列，
所以 ，即 ；………………………………………11分
故 的取值范围为 ． …………………………………………………12分
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