豫南九校联盟2014－2015学年上期第三次联考
高三数学（文）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5｝，B＝{x∈R｜ ≤0}，则∩B＝
A．{1，2} B．{x｜－2≤x＜3} C．{x｜0≤x＜3} D．{0，1}
2．已知i是虚数单位，z＝ ＋1，z在复平面上对应的点为A，则点A到原点O的距离为
A．1 B．2 C． D．
3．己知向量a＝（1，－2），b＝（m，－1），且a∥b，则实数m的值为
A．－2 B． C．2 D．3
4．已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5 7
已求得关于y与x的线性回归方程为 ＝2．1x＋0．85，则m的值为
A．1 B．0．85 C．0．7 D．0．5
5．已知函数f（x）＝ － ，则在下列区间中，函数f（x）有零点的是
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，＋∞）
6．已知数列{ }的前n项和为 ，且满足 ＝2 － ，a5＝4－a3，则S7＝
A．7 B．12 C．14 D．21
7．函数f（x）＝ 的图像大致为
8．若变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝3x＋y的最大值为
A．－4 B．0 C．4 D．8
9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A．4 B．9
C．7 D．5
10．函数f（x）＝Asin（ωx＋ ）（其中A＞0，ω＞0，
｜ ｜＜ ）的图象如图，为了得到f（x）的图象，
则只需将g（x）＝sin2x的图象
A．向右平移 个长度单位
B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位
D．向左平移 个长度单位
11．已知双曲线 的一个焦点在圆 －4x－5＝0
上，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为 ，若 满足 ＞0，y＝ 关于直线x＝1对称，则不等式 ＜f（0）的解集是
A．（－1，2） B．（1，2）
C．（－1，0）∪（1，2） D．（－∞，0）∪（1，＋∞）
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如右图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f（x）＝2 －2x与直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷m粒芝麻，其中有n粒落在阴影部分，则阴影部分的面积估计为___________．
14．如下图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是___________．
15．已知数列{ }的前n项的和为 ，a1＝－ ， ＝ ，则 ＝_______
16．下面几个命题：
①命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的数都不是偶数”；
②“a＞1”是“f（x）＝ （a＞0，a≠1）在（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；
③“若f（x）＝ln（ ）＋ax是偶函数，则a＝－ ”的逆否命题是真命题；
④若平面α⊥直线a，平面β⊥直线a，则α∥β；
⑤若直线m∥平面α，直线n∥β，α∥β，则m∥n．
真命题的序号为_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝ sinxcosx＋ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝ ，b＋c＝3．求a的最小值．
18．（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，
∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，AC＝1，AA1＝BC
＝2．
（1）求证：BC1⊥平面AB1C；
（2）求三棱锥C－AB1E的体积．
19．（本小题满分12分）
截至2014年11月27目，我国机动车驾驶人数量突破
3亿大关，年均增长超过两千万．为了解我地区驾驶预考
人员的现状，选择A，B,C三个驾校进行调查．参加各驾校科目一预考人数如下：
驾校A 驾校B 驾校C
人数 150 200 250
若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取24人进行分析，他们的成绩如下：
87 97 91 92 93 99 97 86 92 98 92 94
87 89 99 92 99 92 93 76 70 90 92 64
（1）求三个驾校分别应抽多少人?
（2）补全下面的茎叶图，并求样本的众数
和极差；
（3）在对数据进一步分析时，满足
｜x－96．5｜≤4的预考成绩，称为
具有M特性。在样本中随机抽取一人，
求此人的预考成绩具有M特性的
概率。
20．（本小题满分12分）
如图，曲线c1： ＝2px（p＞0）与曲线c2：
只有三个公共点O，M，N，其中O为
坐标原点，且 • ＝0．
（1）求曲线c1的方程；
（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c1交于A，B两点，
若点M是线段AB的中点，求线段AB的长．
21．（本小题满分12分）
设函数f（x）＝ ＋ax－1（P为自然对数的底数）．
（1）当a＝1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积：
（2）试讨论f（x）的单调性；
（3）若对于任意的x1∈（0，1），总存在x2∈[0，1]使得f（x1）－ ≥ 恒成立，求实数a的取值范围．
【选做题】
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲
如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切
点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线
PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ
＝∠PBC．求证：
（1） ＝ ；
（2）△ADQ∽△DBQ．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，直线l的参数方程是 （t为参数）．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程：
（2）若点M，N分别为曲线C和直线l上的动点，求｜MN｜的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x）＝｜2x－1｜．
（1）求不等式f（x）＜x＋1的解集；
（2）若a＋b＝1，f（x）－f（x＋1）＞ 对任意正实数a，b恒成立，求实数x的取值范围．
高三数学参考答案（文）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14.
15. 16. ②③④
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知函数
（I）求函数 的最小正周期和单调递增区间。
（II）在 中，角 的对边分别为 若 求 的最小值.
17.解：(I). ……………2分
F(x)最小正周期为 ……………………………4分
单增区间为 …………………………….6分
(II)由题意 ,化简得
, , ……………………………8分
∴ , ∴ ……………………………10分
在 中,根据余弦定理,得 .
由 ,知 ,即 . ……………………………11分
∴当 时, 取最小值 . ……………………………12分
18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，AC＝1，AA1＝BC＝2 .
(1)求证：
(2)求三棱锥C－AB1E的体积．
18.（1）证明
// ……………………………2分
……………………………4分
……………………………6分
（2）
………………12分
19.（本小题满分12分） 截至2014年11月27日，我国机动车驾驶人数量突破3亿大关,年均增长超过两千万.为了解我地区驾驶预考人员的现状，选择A,B,C三个驾校进行调查.参加各驾校科目一预考人数如下：
驾校A 驾校B 驾校C
人数 150 200 250
若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取24人进行分析，他们的成绩如下：
87 97 91 92 93 99 97 86 92 98 92 94
87 89 99 92 99 92 93 76 70 90 92 64
（1）求三个驾校分别应抽多少人？
（2）补全下面的茎叶图，并求样本的众数和极差；
（3）在对数据进一步分析时，满足 的预考成绩，称为具有M特性。在样本中随机抽取一人，求此人的预考成绩具有M特性的概率
19.解（1）用分层抽样的方法从三个驾校分别抽取：
驾校A: 人……………………………1分
驾校B： 人……………………………2分
驾校C： 人……………………………3分
9 0 1 2 2 2 2 2 2 3 3 4 7 7 8 9 9 9
8
7
6 4
（2）补全的茎叶图为
…………………6分
9 0 1 2 2 2 2 2 2 3 3 4 7 7 8 9 9 9
8 6 7 7 9
7 0 6
6 4
众数为：92
极差为：99-64=35……………………………8分
（3）设事件A=“预考成绩具有M特性”。
满足 的预考成绩为：
99 99 99 98 97 97 94 93 93
共9个
所以P(A)= ……………………………12分
20.（本大题满分12分）如图，曲线 （p>0）与曲线 只有三个公共点O,M,N,其中O为坐标原点，且
(1)求曲线 的方程；
(2)过定点M（3,2）的直线 与曲线 交于A，B两点,若点M是线段AB的中点，求线段AB的长.
20.解（1）曲线 （p>0）与曲线 只有三个公共点O,M,N,其中O为坐标原点，且
由对称性知
所以M(6,6)，……………………………3分
P=3……………………………4分
所以曲线为 ……………………………5分
（2）设
因为（3,2）是AB中点
所以 ……………………………6分
则由点差法得
……………………………8分
所以直线l:
所以由韦达定理 ……………………………10分
……………………………12分
21．（本大题满分12分）设函数 （ 为自然对数的底数）.
（1）当 =1时，求过点（1， ）处的切线与坐标轴围成的面积；
（2）试讨论 的单调性；
（3）若对于任意的 ，总存在 使得 恒成立，求实数 的取值范围.
21解（1）当 时, , , , ,
函数 在点 处的切线方程为 ，即
……………………………2分
设切线与x、y轴的交点分别为A,B.
令 得 ,令 得 ,∴ , …………………3分
.
在点 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ……………………………4分
（2）
当 时 所以f（x）在R上单调递增
当 时在 上单调递减
在 上单调递增 ……………………………6分
（3）对于任意的 ，总存在 使得 恒成立
等价于
由（2）知
所以
所以 ……………………………8分
得 恒成立,
令 ,
令 , , ……………………10分
∵ ,∴ , 在 为减函数 ，
∴ ,
又∵ , ∴ ……………………11分
∴ 在 为增函数, , 因此只需 ……… 12分
22．(本小题满分10分)选修4—1，几何证明选讲
如图， 是圆 的两条切线， 是切点， 是劣弧 (不包括端点)上一点，直线 交圆 于另一点 ， 在弦 上，且 ．
求证：(1) ； (2)△ ∽△ ．
22．
证明解：(1)因为△ ∽△， 所以 ．同理 ．
，所以 ，即 ． 5分
(2)连接 ，因为 ， ，
所以△ ∽△ ，即 ，故 ．
又因为 ，所以 △∽△ ． 10分
23（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 （ 为参数）.
（Ⅰ）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（Ⅱ）若点 分别为曲线 和直线 上的动点，求 的最小值.
23解：（1）曲线 的直角坐标方程为
直线 的普通方程为： ……………………5分
（2）设圆心C（2,0）到直线l上任意一点的距离为d
所以
所以 的最小值为 ……………………10分
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 ，
(1)求不等式 的解集；
(2)若a+b=1， 对任意正实数a,b恒成立，求实数x的取值范围。
24解：（1）因为
所以-x-1<2x-1<x+1
不等式 的解集为：
……………………5分
（2）因为a+b=1，且a,b为正实数
因为 对任意正实数a,b恒成立
所以f(x)-f(x+1)>1
当 时不等式不成立
当 时解集为
当 时不等式恒成立解集
综上不等式解集为
……………………10分
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