豫南九校2014—2015学年上期第三次联考
高三数学（理）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．集合A＝｛x∈R｜ ＝x}，B＝｛x∈R｜ ＝x}，则集合A∩B的子集个数为
A．1 B．2 C．4 D．8
2．已知等比数列{ }中，a3，a7是一元二次方程 ＋7x＋9＝0的两根则a5＝
A．3 B．－3 C． 3 D．9
3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ， ），（δ＞0）若p（ξ＜0）＋p（ξ＜1）＝1，则μ的值
A．－1 B．1 C．－ D．
4．若复数a＝3＋2i，b＝4＋mi，要使复数 为纯虚数，则实数m的值为
A．－6 B．6 C． D．－
5．已知数列{ }，a1＝1， ＝ ＋n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是
A．n≤8? B．n≤9?
C．n≤10? D．n≤11?
6．曲线y＝ 与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭
图形的面积为
A．2－ln2
B．4－2ln2
C．4－ln2
D．2ln2
7．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的
尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
8．已知x，y满足约束条件 ，则
z＝2x－y的最大值为
A．－3 B．1
C．13 D．15
9．已知sin10°＝k，则sin110°＝
A．1－ B．2 －1 C．1－2 D．1＋2
10．过抛物线 ＝4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交C于A、B，l2交C于M、N．则 ＋ ＝
A． B． C． D．
11．二次函数y＝ －2x＋2与y＝ ＋ax＋b（a＞0，b＞0）在它们的一个交点处的切线 互相垂直，则 ＋ 的最小值为
A． B．4 C． D．
12．定义[x]表示不超过x的最大整数，若f（x）＝cos（x－[x]），则下列结论中：
①y＝f（x）为偶函数；
②y＝f（x）为周期函数，周期为2π；
③y＝f（x）的最小值为cos1，无最大值：
④y＝f（x）无最小值，最大值为1．
正确的命题的个数为
A．0个 B．1个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分
13． 的展开式中 的系数是10，则实数a的值为
_______________（用数字作答）
14．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，
AP＝3，则 • ＝______________．
15．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且∠B＝90°, BC＝1，AC＝3，已知
三棱锥O－ABC的体积为 ，则球O的表面积为_______________．
16．正实数列{ }满足 ＝ ，n＝3，4，…其中m为非零实数，若a1•a2014＝4，则 m＝___________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知 ＝（asinx，cosx）， ＝（sinx，bcosx），其中a，b，x∈R，若f（x）＝ • 满足f（ ）＝2，且f（x＋ ）＝f（ －x）．
（1）求a，b的值：
（2）若关于x的方程f（x）＋ ＝0在区间[0， ]上总有实数解，求实数k的取值范围．
18．（本小题满分12分）
市面上有三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为 ，第二、三种产品受欢迎的概率分别为p，q（p＞q），且不同种产品是否受欢迎相互独立．记ξ为三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为
（1）求至少有一种产品受欢迎的概率；
（2）求p，q的值；
（3）求数学期望Eξ．
19．（本小题满分12分）
如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB．
F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE：
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
如图已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率
为 ，且过点A（0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于
M，N两点．求证：直线恒过定点P．并求点P的坐标．
21．（本小题满分12分）
已知a∈R，函数f（x）＝ ＋lnx－1，g（x）＝（lnx－l） ＋x（其中e为自然对数的底数）．
（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；
（2）是否存在实数x0∈（0，＋∞），使曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直?若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
【选作题】
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与
圆O的一个交点为P，过点A作直线交圆O于
点Q，交圆B于点M、N．
（1）求证：QM＝QN；
（2）设圆O的半径为2，圆B的半径为1，当
AM＝ 时，求MN的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C： ＝2acosθ（a＞0），过点P（－2，－4）的直线l的参数方程为：
（t为参数），直线l与曲线C相交于M，N两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若｜PM｜，｜MN｜，｜PN｜成等比数列，求a的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设f（x）＝2｜x｜－｜x＋3｜．
（1）求不等式f（x）≤7的解集S；
（2）若关于x的不等式f（x）＋｜2t－3｜≤0有解，求参数t的取值范围．
理数答案及提示
1-5 CBDAB 6-10BCCCD 11-12CB
13、
14、18
15、
16、
10.提示：法一：可利用过焦点的弦长 进行计算.
法二：可通过特殊位置来考虑：将AB看做通径，则 ，此时
16.提示：依条件可知 是一个T=6的周期数列.
17、解（1） =
由 得 ……………………………………(3分)
又 得 …………………………………...(5分)
则有 ………………………………（6分）
（2）由（1）得
…………(9分)
………………………………..（12分）
18． 解：设事件 表示“第i种产品受欢迎”，i=1,2,3;
由题意得
（1） 设所求事件为B，则 ………..(3分)
（2） 由题意得：
整理得： ……(8分)
（3） 由题意知： = + +
= ………………………(10分)
……………………….(12分)
19.（1）证明:取CE的中点G,连FG、BG.
可证得四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG
即可证得AF//平面BCE. …………………………..(4分)
（2） 依题意证得BG 平面CDE，即可证得平面BCE 平面CDE…….(8分)
（1） 设AD=DE=2AB=2,建立如图所示的坐标系A—xyz,
则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1, ,0),E(1, ,2),F（
设平面BCE的法向量为 由
可取 ，
设BF和平面BCE所成的角为 ，则：
sin = ……………………………(12分)
20.（1）由题意得：a=2, b=1
所以椭圆C的方程为： ………………(3分)
（2）法1：直线MN恒过定点P（0， ，下面给予证明：
设直线 的方程为 联立椭圆方程，消去 得;
,解得
同理可得： ……………………(8分)
，
.
故直线MN恒过定点P （０， ……………………(12分)
法2：同法（1）求得M、N两点坐标后，可得直线ＭＮ的方程为：
直线ＭＮ恒过定点Ｐ（０， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）
21.解: (1)
,
①若 在(0，e)上单调递增；
② 在（0，a）上单调递减，在(a,e) 上单调递增;
③若 在(0，e)上单调递减. ……………………..(5分)
(2)因为 ，
所以
由（1）易知，当a=1时， 在 的最小值为：
即
又
曲线 在点 处的切线与y轴垂直等价于方程 有实数解.
而 即方程 无实数解，故不存在. …………(12分)
22.（1）证明：连接BM、BN、BQ、BP
B为小圆的圆心， BM=BN
又因AB为大圆的直径， ……..(5分)
（2）因AB为大圆的直径， AP为圆B的切线，
由已知AB=4，PB=1， .
又AM= 所以MN= ………………………….(10分)
23.解:(1)曲线C的直角坐标方程
直线 的普通方程为 ………………………….(4分)
（2）将直线 的参数方程代入 得
设M、N两点对应的参数分别为
则有
=
解得 或 （舍） …………………………………..(10分)
24.解：（1）
在同一坐标系下作出 与 的图像，可知二者相交于横坐标为 的两点，因此得S=[ . …………………………………….（5分）
（2）由（1）知， 的最小值为-3，则不等式 有解，且只需
解得 的取值范围是 . ……………………………….(10分)
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