湖南省湘中名校2015届高三11月联考
数学（理）试题
本卷共150分，时量：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ,则 =（ ）
A． B． C． D．
2.下列命题是真命题的是（ )
A． 的充要条件 B． 的充分条件
C． D．若 为真命题，则 为真
3.已知－9，a1，a2，a3，－1，成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则 ＝( )
A．± B．± C．－ D.
4.设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
5..若ax2+bx+c＞0的解集为（-∞，-2）∪（4，+∞），则对f（x）=ax2+bx+c，有（ ）
A．f（5）＜f（2）＜f（-1） B．f（2）＜f（5）＜f（-1）
C．f（-1）＜f（2）＜f（5） D．f（2）＜f（-1）＜f（5）
6.已知点 ， 在第二象限，则 的一个变化区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.已知函数 ，将 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到的图象沿 轴向左平移 个单位,这样得到的曲线与 的图象相同, 那么 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8. 设Sn为等差数列{an}的前项和， ,那么当Sn取得最小正值时，n等于( )
A. 11 B. 17 C.19 D. 21
9. 的最小值为
A. B. C. D.
10. 已知函数f(x)= , g(x)=x2-4x-4,设b为实数，若存在实数a使f(a)+f (b)=0，则b的取值范围（ ）
A.[-1,5] B.(-1,5) C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 的值为___________
12. =___________
13.在等比数列 中，已知前n项和 = ，则 的值为___________
14. x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0．若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为__________
15. 已知各项均为正数的等比数列{an},若2a4+a3-2a2-a1=8，则2a8+a7的最小值为___________
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分12分）
在 中，角 所对的边分别是 ，已知 .
(1)若 的面积等于 ，求 ；
(2)若 ， ，求 的面积.
17.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中 -A BC中，AB AC， AB=AC=2， =4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求平面 与 所成二面角的正弦值．
18. （本小题满分12分）
已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式．
（Ⅱ）令Cn=Sncos（anπ）（n∈N+），求{cn}的前n项和Tn．
19. （本小题满分13分）
在四边形ABCD中，| |=12，| |=5，| |=10，| |=| |， 在 方向上的投影为8；
（1）求∠BAD的正弦值；
（2）求△BCD的面积．
20. （本小题满分13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的解集；
（Ⅱ）设函数 ，若 对任意的 都成立，求 的取值范围．
21. （本小题满分13分）
设函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
(3)若方程f(x)＝c有两个不相等的实数根x1、x2，求证：f′ >0.
湘中名校11月联考理数试题答案
CBDBD CDCBA
11. 12. 13. -5 14. 2或－1 15. 54
16.（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得
又 ，得 3分
联立 解得 5分
（Ⅱ）由题意得，
即 ， 又
9分
的面积 12分
17. （1）以 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ,
则 , , , , , ．
,
异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 6分
（2） 是平面 的的一个法向量，设平面 的法向量为 ,
， ，
由 ， 得 ，取 ,得 ， ,
所以平面 的法向量为 ．设平面 与 所成二面角为 ．
, 得 ．
所以平面 与 所成二面角的正弦值为 ． 12分
18. 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则a2b2=（3+d）q=12，①
S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=9+3d+q=20，即3d+q=11，变形可得q=11-3d，②
代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d2=12，（3d+7）（d-3）=0，
又由{an}是单调递增的等差数列，有d＞0．则d=3，q=11-3d=2，
an=3+（n-1）×3=3n，bn=2n-1…（6分）
（Ⅱ） …（8分）
当n是偶数，Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn
= …（10分）
当n是奇数，
综上可得 …（12分）
19. 解：（1）∵| |=| |，
∴以 为邻边做平行四边形DAEC的对角线相等，即为矩形
∴∠ADC=90°，--- ----（1分）
在Rt△ADC中， ， ，
∴ ， ， ，--（3分）
∵ 在 方向上的投影为8， ，
∴ ，---（5分）∵∠CAB∈（0，π），∴
∴sin∠BAD=sin（∠DAC+∠CAB）=sin∠DACcos∠CAB+sin∠CABcos∠DAC
= = ---（7分）
（2）∵ =39，
=30， sin∠BAD= ---（11分）
∴S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△ABD= ---（13分）
20.（Ⅰ）
6分
∴ 即
∴ ① 或 ② 或 ③
解得不等式①： ；②：无解 ③：
所以 的解集为 或 ． 9分
（Ⅱ） 即 的图象恒在 图象的上方
图象为恒过定点 ，且斜率 变化的一条直线作函数 图象如图, 其中 ， ，∴
由图可知，要使得 的图象恒在 图象的上方
∴实数 的取值范围为 . 13分
21. (1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0<x< .
所以函数f(x)的单调增区间为 ，单调减区间为 .…………….. 4分
(2)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点
则a>0，且f(x)的最小值f <0，即－a2＋4a－4aln <0.
因为a>0，所以a＋4ln －4>0.令h(a)＝a＋4ln －4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，
且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln －1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.
当a>a0时，h(a)>0；当0<a<a0时，h(a)<0.所以满足条件的最小正整数a＝3 ……8分
(3)证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0.
不妨设0<x1<x2，则 －(a－2)x1－alnx1＝c， －(a－2)x2－alnx2＝c.
两式相减得 －(a－2)x1－alnx1－ ＋(a－2)•x2＋alnx2＝0，
即 ＋2x1－ －2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)．
所以a＝ .因为f′ ＝0，
当x∈ 时，f′(x)<0， 当x∈ 时，f′(x)>0，
故只要证 > 即可，即证明x1＋x2> ，
即证明 － ＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)< ＋2x1－ －2x2，
即证明ln < .设t＝ (0<t<1)．
令g(t)＝lnt－ ，则g′(t)＝ .
因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．
又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证……….13分
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