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2015届广东六校联盟第三次联考试题
数学（理科）
（满分150分） 考试时间：120分钟
参考公式：柱体的体积公式 ，锥体的体积公式 .
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）
1. 设集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为( ）
A. B.
C. D.
2. 已知复合命题 是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等差数列 中， ，前 项和为 ，
等比数列 满足 ， ，前 项和为 ，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线 ， ,若 ，则 （ ）
A. 或 B. 或 C. D.
8. 已知函数 的定义域为 ，如果存在实数 ，使对任意的 ，都有 ，
则称函数 为有界函数，下列函数：
① ②
③ ； ④
为有界函数的是（ ）
A.②④ B.②③④ C.①③ D.①③④
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）
9. 函数 在点 处的切线方程为___________________.
10. 在 中， ，则此三角形的最短边的长度是________.
11. 已知递增的等差数列 满足 ，则 ___________.
12. 已知圆 上的点到直线 的最近距离为 ，则 ______.
13. 如图，为了测量两座山峰上两点P、Q之间的距离，选择山坡上
一段长度为 米且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的
两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是 ,
,可求得P、Q两点间的距离为 米.
14. 已知 ；
如果 是 的充分但不必要条件，则 的取值范围是_ .
三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15.（本小题满分12分）
已知函数 （其中 ）的最小正周期为 .
（1）求 的值；
（2）设 ， ， ，求 的值.
16．（本小题满分12分）
寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划 的同学从事项目①， 的同学从事项目②，最后 的同学从事项目③；乙组计划 的同学从事项目①，另 的同学从事项目②，最后 的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于 人，从事项目②的总人数不得多于 人，从事项目③的总人数不得多于 人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？
17.（本小题满分14分）
如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边
，连接A1B,A1C,A1D.
（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；
（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C 平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.
18.（本小题满分14分）
已知数列 中， ，数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .
19.（本小题满分14分）
已知直角坐标系中，圆 的方程为 ，两点 ，
动点P满足 .
（1）求动点P的轨迹C方程；
（2）若对于轨迹C上的任意一点P，总存在过点P的直线 交圆 于M,N两点，
且点M是线段PN的中点，求 的取值范围.
20.（本小题满分14分）
已知函数 .
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）若 ，函数 的图像上存在 两点，其横坐标满足 ，
且 的图像在此两点处的切线互相垂直，求 的取值范围.
六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：CBAD DABC
二、填空题：9. ； 10. ； 11. 12.0或者 ； 13. 900；
14. 或者填写 或者直接 均可
三、解答题：
15. 解：⑴ …………3分
，所以 . ………………………………………………6分
注：如果 等正确结果的话相应给分即可.
⑵
所以 ………………………………………………………………7分
所以 …………………………………………………………………8分
因为 ，所以 ，10分
所以 . …………………………12分
16.解：设甲组 名同学，乙组 名同学，根据题意有：……………………1分
整理得：
可行域如图：
参加活动的总人数 ，变形为 ，当经过可行域内的点，斜率为 的直线在 轴上
截距最大时，目标函数 取得最大值. 由可行域图像可知，直线 经过
和 的交点A时，在 轴上截距最大. ……………8分
解方程组 得： ……………………………………10分
所以 …………………………………………………11分
答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分
17.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为
……2分
当且仅当 ，即 时体积 有最大值为1
所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边
形ABCD为正方形 ……4分
作BM A1C于M，连接DM，BD ……………5分
因为四边形ABCD为正方形，所以 与 全等，故DM A1C，所以 即为所求二面角的平面角 ……6分
因为BC 平面AA1B1B，所以 为直角三角形
又 ，所以 ，同理可得，
在 BMD中，根据余弦定理有： ………………8分
因为 ，所以
即此时二面角B-A1C-D的值是 . ……………………………………………………9分
⑵ 若线段A1C上存在一点P，使得 A1C 平面BPD，则A1C BD ………………10分
又A1A 平面ABCD,所以A1A BD，所以BD 平面A1AC
所以BD AC ……………………………………………………………………12分
底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在
由⑴知，所求点P即为BM A1C的垂足M
此时， ……………………………………………………14分
法二：根据题意可知，AA1, AB,AD两两垂直，以AB为 轴，AD为 轴，AA1为 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
⑴长方体体积为 ………………………2分
当且仅当 ，即 时体积 有最大值为1 …………………………………3分
所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形…………………4分
则 ，
设平面A1BC的法向量 ，则
取 ，得： ………………6分
同理可得平面A1CD的法向量 ……7分
所以， ………………8分
又二面角B-A1C-D为钝角，故值是 .…………9分
（也可以通过证明B1A 平面A1BC写出平面A1BC的法向量）
⑵ 根据题意有 ，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨 ，可得
即： …………………………11分
解得： …………………………………………………………13分
即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上 处. ………………………………………………………14分
18.解：⑴ …………………………………………2分
…………………6分
又 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， …………8分
（也可以求出 ，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分
数学归纳法证明过程如下：
① 当 时， 符合通项公式 ；
② 假设当 时猜想成立，即 ，
那么当 时
，
即 时猜想也能成立
综合①②可知，对任意的 都有 .
⑵ 当 时，左边= 不等式成立；……………………………………9分
当 时，左边= 不等式成立； …………………………10分
当 时，
左边=
不等式成立 …………………………………………………………………………14分
19.解：⑴ 设 ，因为 ，所以
消去 并注意到 可得动点P的轨迹C即为线段AB，方程为： ……5分，不写出 的范围扣1分
⑵ 设 ，则
方程组 即 有解 ……7分
法一：将方程组两式相减得： ………8分
原方程组有解等价于点 到直线 的距离小于或等于 ，即 …………………………………………………………9分
整理得：
即
也就是， 对任意的 恒成立 ……………………10分
根据二次函数 的图像特征可知，在区间 上，当 或者 时， ；当 时， …………………………12分
所以 ， ……………………………………………………13分
特别的，当 时，圆 与 切于点 ，此时过C上的点 没有合乎要求的直线，故 ，即所求 的范围为 . ……14分
法二：上述方程组有解即以 为圆心， 为半径的圆与以 为圆心， 为半径的圆有公共点，故对于任意的 都有 成立 ……9分
整理得： 对任意的 恒成立 ……………………10分
根据二次函数 图像特征可知，在区间 上，当 或者 时， ；当 时， …………………………12分
所以 ， ……………………………………………………13分
特别的，当 时，圆 与 切于点 ，此时过C上的点 没有合乎要求的直线，故 ，即所求 的范围为 . ……14分
20.解：⑴函数 的定义域为 ， ……1分
当 时，原函数在区间 上有 ， 单调递增，无极值；
当 时，原函数在区间 上有 ， 单调递增，无极值；……2分
当 时，令 得： ………………………………3分
当 时， ，原函数单调递增；当 时， ，原函数单调递减 …………………………………………………………………………………4分
所以 的极大值为 ………………………………5分
⑵ 由⑴知，当 时
……………………6分
函数图像上存在符合要求的两点，必须 ，得： ；
………………………………………………………………………8分
当 时， ，函数在点 处的切线斜率为 ；
当 时， ，函数在点 处的切线斜率为 ；
………………………………………………………………10分
函数图像在两点处切线互相垂直即为：
，即 ………………………………11分
因为 ，故上式即为 …12分
所以 ，解得：
综合得：所求 的取值范围是 . ………………………………14分
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