宣城市八校2015届高三上学期联考数学（文）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、
不等式、推理与证明。
考生注意事项：
l．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用0．5毫米的黑色墨水签字笔捕清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）如图，设全集U=N，集合A={1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为
（A）{2，4} （B）{7，8}
（C）{1,3,5} （D）{1,2,3,4,5}
（2）设i是虚数单位，则复数 的共轭复数
（A）－i （B）i （C）1－I （D）1+i
（3）函数y= 的定义域为
（A）（－1，3] （B）（－1，0） （0，3]
（C）[－1，3] （D）[－1．0） （0，3]
（4）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a3=7，S3=21，则数列{an}的公比是
（A） （B）1 （C） 或1 （D） 或1
（5）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时f（x）=3x，若f（x0）= ，则x0=
（A）－2 （B） （C） （D）2
（6）若曲线y=alnx+x2（a>0）的切线倾斜角的取值范围是[ ， ），则a=
（A） （B） （C） （D）
（7）设Sn，是等差数列{an}的前n项和，且a2+2a4+5a6=48，则S9=
（A）36 （B）45 （C）54 （D）63
（8）若将函数y=sin（2x ）的图像向左平移 个单位，所得图像关于y轴对称，则 的最小正值是
（A） （B） （C） （D）
（9）若x，y满足约束条件 ，且z=2x+y的最小值为－1，则a=
（A）－2 （B）－1 （C）0 （D）1
（10）在l和l 7之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当 取最小值时，n＝
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：
请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
（11）已知向量a=（－2，4），b=（－2，3m），c=（4m，－4），若（a－2b）⊥c，则m的值为
。
（12）27 +（ ） 。
（13）如图，在△OAB中，OA⊥AB，OB=1，OA= ，过B点作OB延长线的垂线交OA延长线于点A1，过点A1作OA延长线的垂线交OB延长线于点B1，如此继续下去，设△OAB的面积为al，△O A1B的面积为a2，△OA1B1的面积为a3，…，以此类推，则a6= .
（14）已知数列{an}的各项都是正数，其前n项和Sn满足2Sn=an+ ，n∈N*，则数列｛an｝的通项公式为 .
（15）设非直角△ABC的内角A、B．C所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
①“sinA>sinB”是“a>b”的充分必要条件
②“cosA<cosB”是“a>b”的充分必要条件
③。tanA>tanB”是“a>b”的充分必要条件
④“sin2A>sin2B”是a“>b”的充分必要条件
⑤“cos2A<cos2B”是“a>b”的充分必要条件
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分]2分）
设函数f（x）=sinxcos（x+ ）+ ，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0， ]上的单调性．
（17）（本小题满分12分）
已知命题p：对任意x∈R，不等式2x+ |2x－2|>a2－a恒成立；命题q：关于x的方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根．若“（ ）V q”为真命题，“（ ） q”为假命题，求实数a的取值范围．
（18）（本小题满分12分）
设△A BC的内角A、 B、C所对边的长分别为a、b、c，且3b2=2ac（1+cosB）．
（I）证明：a、b、c．成等差数列；
（Ⅱ）若a=3．b=5b求△ABC的面积．
（19）（本小题满分13分）
已知数列｛an｝满足al=2，an+l =2a ，n∈N*．
（I）证明：数列{1+log2an}为等比数列；
（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn。
（20）（本小题满分13分）
设函数f（x）=ax－ex，a∈R，e为自然对数的底数．
（I）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈R，a> 0, f（x）≤a2ka恒成立，求实数K的取值范围．
（21）（本小题满分13分）
设递增数列{an}满足al=1，al、a2、a5成等比数列，且对任意n∈N*，函数．f（ x）=（an+2
－an+1）x－（an－an－1）sinx+ancosx满足 （ ）=0．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn，bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<2．
参考答案
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
答案 A A B D D B C C B D
（1）A 解析：由Venn图可知阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B＝{2，4}．
（2）A 解析：
（3）B 解析：由已知得－x2＋2x＋3≥0x＋1＞0x＋1≠1 ，解得x∈(－1，0)∪(0，3].
（4）D 解析：设数列 的公比为q，则 解得 或1.
（5）D 解析：当 时， 可得 .
（6）B 解析：y′＝ax＋2x≥22a，∵倾斜角的取值范围是 ，∴斜率 ， ，∴ （7）C 解析：48＝a2＋2a4＋5a6＝ S9＝9(a1＋a9)2＝9a5＝54.
（8）C 解析： 由其图像关于y轴对称，可知 得 故 的最小正值是
（9）B 解析：画出可行域，如图，显然z＝2x＋y在直线x＋y＝a与2x－y＝1的交点处取得最小值，解得交点坐标为(a＋13，2a－13)，则－1＝2×a＋13＋2a－13，解得a＝－1．
（10）D 解析：由已知得a＋b=18，则1a＋25b＝(1a＋25b)×a＋b18=118(25＋1＋25ab＋ba)≥118(26＋10)=2，当且仅当b=5a时取等号，此时a=3，b=15，可得n=7．
（11）12 解析：a－2b＝(2，4－6m)，且(a－2b)⊥c，故8m－4(4－6m)＝0，m＝12.
（12）10 解析：原式
（13） 解析：a1＝38，a2＝32，a3＝23，…，a6＝ ．
（14） 解析：当n＝1时，2S1＝a1＋1a1=2a1，a1＝1，当n≥2时，2Sn＝Sn－Sn－1＋1Sn－Sn－1，即Sn＋Sn－1＝1Sn－Sn－1， ，又 S2n＝n，Sn＝n， .
（15）①②⑤ 解析：由①sinA＞sinB，利用正弦定理得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB ，等价于
a＞b，①正确；由②cosA＜cosB，利用函数 在 上单调递减得 ，等价于a＞b，②正确； 由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A为锐角，B为钝角，虽然有tanA＞tanB，但由大角对大边得a＜b，③错误；由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如 A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b，④错误；由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，∴sinA＞sinB，故等价于a＞b，⑤正确．
（16）解析：（Ⅰ）f (x)＝sinx(12cosx－32sinx)＋34＝14sin2x－32•1－cos2x2＋34＝12sin(2x＋π3)，
∴f (x)的最大值为12，最小正周期为π．（6分）
（Ⅱ）
当 即 时，f(x)单调递增；
当 即 时，f(x)单调递减.
综上可知f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.（12分）
（17）解析：令f (x)＝2x＋|2x－2|，则
∵y＝2x+1－2是增函数，∴f (x)有最小值2，
若命题p为真命题，则a2－a＜2，－1＜a＜2．
若命题q为真命题，则△＝4a2－4＞0，a＜－1或a＞1．（8分）
∵ 为真命题， 为假命题，∴ 与q一真一假.
若p真，则q真，此时1＜a＜2;
若p假，则q假，此时 即a=－1．
故a的取值范围是{-1}∪(1，2)．（12分）
（18）解析：（Ⅰ）由余弦定理知2accosB＝a2＋c2－b2，
∴3b2＝2ac＋a2＋c2－b2，4b2＝(a＋c)2，2b＝a＋c，
∴a、b、c成等差数列．（6分）
（Ⅱ）∵a＝3，b＝5，∴c＝7，cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，sinC＝32，
∴ 的面积S＝12absinC＝1534．（12分）
（19）解析：（Ⅰ）两边取以2为底的对数得log2an＋1＝1＋2log2an，则log2an＋1＋1＝2(log2an＋1)，
∴{1＋log2an}为等比数列，且log2an＋1＝(log2a1＋1)×2n－1＝2n.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
＝12＋222＋…＋n2n，则12 ＝122＋223＋…＋n2n+1，
两式相减得12 ＝12＋122＋…＋12n－n2n+1＝1－12n－n2n+1， .（13分）
（20）解析：（Ⅰ）f ′(x)=a－ex．
当a≤0时，f ′(x)＜0，f (x)在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；
当a＞0时，由f ′(x)=0解得x=lna，当x＞lna时，f ′(x)＜0，当x＜lna时，f ′(x)＞0．
故f (x)在x=lna处取得最大值f (lna)=alna－a，
∵f (x)存在两个零点，∴f (lna)=alna－a＞0，a＞e，即a的取值范围是(e，＋∞)．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x) ≤alna－a，故只需alna－a≤a2－ka，k≤a＋1－lna.
令g(a)= a＋1－lna，g′(a)= 1－1a，当a＞1时，g′(a)＞0；当a＜1时，g′(a)＜0．
故g(a)在a=1处取得最小值2，则k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．（13分）
（21）解析：(Ⅰ)∵ ＝an＋2－an＋1－(an－an＋1)cosx－ansinx，
∴ ＝an＋2－an＋1＋an－an＋1＝0，即2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是以a1＝1为首项的等差数列，
设数列 的公差为d，则d>0，由a22＝a1•a5，得(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，解得d＝2，
∴an＝2n－1.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得Sn＝（a1＋an）n2＝n2，∴bn＝1n2，∴T1＝b1＝1<2.
∵当n≥2时，1n2<1n（n－1）＝1n－1－1n，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝112＋122＋ …＋1n2<112＋11×2＋12×3＋…＋1（n－1）×n
＝1＋1－12＋…＋1n－1－1n＝2－1n<2，∴Tn<2.(13分）
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