新疆师范大学附属中学2015届高三12月月考数学（文）试题
1．已知集合 ，集合 （e是自然对数的底数），则 （ ）
A． B． C． D．
2．己知 ，则“a=±1”是“ i为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若 ，且 ，则角 是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列命题中正确的是（ ）
A．命题“ ，使得 ”的否定是“ ，均有 ”；
B．命题“若 ，则x=y”的逆否命题是真命题：
C．命题”若x=3，则 ”的否命题是“若 ，则 ”；
D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题．
5．设 ，则（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a
6．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
7．若向量a与b的夹角为120 ，且 ,c=a+b，则有（ ）
A．c b B c a c．c//b D．c∥a
8．下面是一个算法的程序框图，当输入的 值为3时，输出 的结果恰好是 ，则？处的关系式是（ ）.
A． B． C． D．
9．O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，P为C上一点，若 ，则 POF的面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．设函数 是 上的单调递减函数，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
11．己知函数 的图象在点 处的切线 与直线3x- y+2=0平行，若数列 的前n项和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知实数x，y满足 ，则 的最小值是__________
14．若直线y= kx -1与圆 相交于P、Q两点，且 POQ =120 （其中O为原点），则k的值为____．
15三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA= ，则该三棱锥外接球的表面积为
．____
16．定义行列式运算 ，将函数 的图象向左平移t(t>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为______．
三、解答题（题型注释）
17．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， ，求使 成立的最小的正整数 的值．
18．对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率
19．如图，直三棱柱 中，D，E分别是AB， 的中点
（1）证明： ；
（2）设 ，求三棱锥 的体积
20．已知椭圆 过点 ，且长轴长等于4.
（1）求椭圆C的方程；
（2） 是椭圆C的两个焦点，圆O是以 为直径的圆，直线 与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若 ，求 的值.
21．己知函数 ，其中
（1）求函数 的单调区间；
（2）若直线x-y-l=0是曲线y= 的切线，求实数 的值；
（3）设 ，求g(x)在区间 上的最大值（其中e为自然对数的底数）
22．（本小题满分10分）选修4-l：几何证明选讲在 ABC中，D是AB边上一点， ACD的外接圆交BC于点E，AB= 2BE
（1）求证：BC= 2BD；
（2）若CD平分 ACB，且AC =2，EC =1，求BD的长
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C： (a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为 (t为参数)，l与C分别交于M，N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.
24．设函数，
（1）当 ，解不等式， ；
（2）若 的解集为 ， ，求证：
2014-2015学年度新疆师大附中文科数学12月月考卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1．已知集合 ，集合 （e是自然对数的底数），则 （ ）
A． B． C． D．
2．己知 ，则“a=±1”是“ i为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：当 i为纯虚数时，有 ，则 ，故“a=±1”是“ i为纯虚数”的必要不充分条件．
考点：1、复数概念；2、充分条件和必要条件．
3．若 ，且 ，则角 是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列命题中正确的是（ ）
A．命题“ ，使得 ”的否定是“ ，均有 ”；
B．命题“若 ，则x=y”的逆否命题是真命题：
C．命题”若x=3，则 ”的否命题是“若 ，则 ”；
D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题．
5．设 ，则（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C． a>c>b D．b>c>a
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 ， ， ，故 ，选C．
考点：指数函数和对数函数的图象与性质．
6．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由三视图还原几何体为底面是直角梯形（上底、下底、高分别为1,2 ,2），高为 的四棱锥，故体积为 ．
考点：三视图．
7．若向量a与b的夹角为120 ，且 ,c=a+b，则有（ ）
A．c b B c a c．c//b D．c∥a
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知得 ，故 ，所以 ．
考点：平面向量的数量积．
8．下面是一个算法的程序框图，当输入的 值为3时，输出 的结果恰好是 ，则？处的关系式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若？处的关系式是为 ，则输出的 ；若？处的关系式是为 ，则输出的 ；若？处的关系式是为 ，则输出的 ；若？处的关系式是为 ，则输出的 。故选C
9．O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，P为C上一点，若 ，则 POF的面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：设点 到准线 的距离为 ，由抛物线线定义得 ，故 ， ， ，故 的面积 ．
考点：抛物线定义和标准方程．
10．设函数 是 上的单调递减函数，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
11．己知函数 的图象在点 处的切线 与直线3x- y+2=0平行，若数列 的前n项和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知得， ，函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，故 ，所以 ，则 ，所以 ，故 = ．
考点：1、导数几何意义；2、裂项相消法求和．
12．等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝ ＝10a1＋45d＝0，①
S15＝ ＝15a1＋105d＝25.②
联立①②，得a1＝－3， ，
所以Sn＝ .
令f(n)＝nSn，则 ， .
令f′(n)＝0，得n＝0或 .
当 时，f′(n)＞0, 时，f′(n)＜0，所以当 时，f(n)取最小值，而 ，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.
考点：1.等差数列的前n项和公式；2.导数在函数单调性中的应用.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题（题型注释）
13．已知实数x，y满足 ，则 的最小值是__________
【答案】
【解析】
试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数 ，表示可行域内的点到原点 距离的平方，故当可行域内点到原点距离最小时， 取到最小值，即 ．
考点：线性规划．
14．若直线y= kx -1与圆 相交于P、Q两点，且 POQ =120 （其中O为原点），则k的值为____．
【答案】
【解析】
试题分析：在 中，因为 ，故圆心 到直线 的距离为 ，即 ，解得
考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离公式．
15．定义行列式运算 ，将函数 的图象向左平移t(t>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为______．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得 ，向左平移 个单位后得到 ，因为是奇函数，故 ，故 的最小值为 ．
考点：三角函数的图象与性质．
16．在 ABC中， ，D是AB边上的一点， ，△CBD的面积为1，则AC边的长为_______．
【答案】
【解析】
试题分析：在 中，由三角形面积公式得 ，所以 ，故 ， ．
由正弦定理得 ， ， ，所以 ，由正弦定理得 ，故 ．
考点：1、正弦定理；2、三角形面积．
三、解答题（题型注释）
17．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， ，求使 成立的最小的正整数 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）数列递推式若关于项 和前n项和 ，则可以转化为关于项的递推式，进而求 ，或者转化为关于前n项和的的递推式，先求 ，再求 ．本题当 时， ，两式相减得 ，故数列 为等比数列，进而利用等比数列通项公式求 ；（2）求数列前n项和，首先考虑通项公式的特点，根据通项公式不同特征选取相应的求和方法．本题求得 ，故可采取裂项相消法求得 ，进而求得n的最小值．
试题解析：（1） 当 时， ，由， 1分
当 时， 2分
3分
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列． 4分
故 6分
（2）由（1）知 ， 7分
8分
9分
10分
， 11分
故使 成立的最小的正整数 的值 ． 12分
考点：1、等比数列通项公式；2、数列求和．
18．对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率
【答案】（1） ， ， ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）由频数、频率和样本容量的关系，可求 ，故 值可求，进而求 ；（2）由（1）可得，参加社区服务的次数不少于20次的学生为5人，从中任选2人，共有10种不同的结果，写出这10个基本事件，事件“至多一人参加社区服务次数在区间 内”的对立事件为“选出的2人都在区间 内”，数出结果数，代入古典概型的概率计算公式，利用对立事件概率公式求．
试题解析：（1）由分组 内的频数是 ，频率是 知， ，所以
2分
因为频数之和为 ，所以 ， ． ． 4分
因为 是对应分组 的频率与组距的商，所以 6分
（2）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有 人，
设在区间 内的人为 ，在区间 内的人为 ．
则任选 人共有 10种情况， 8分
而两人都在 内共有 3种， 10分
至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率 ． 12分
考点：1、古典概型；2、频率分布直方图．
19．如图，直三棱柱 中，D，E分别是AB， 的中点
（1）证明： ；
（2）设 ，求三棱锥 的体积
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的直线平行，本题连接 交 于点 ，易证 是 的中位线，，由三角形的中位线定理易证 ，进而证明 ；（2）求四面体体积，难点在于求高，若不易求，则可考虑等体积转化，本题 ，易证 面 ，则 的高，再求底面 的面积，进而求体积．
试题解析：（1）连接 交 于点 ，则 为 的中点，
又D是AB的中点，连接DF，则 ． 2分
因为 平面A1CD， 平面A1CD， 4分
所以BC1∥平面A1CD 5分
（2）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC,
因为CD 平面ABC， 所以AA1⊥CD， 6分
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB， 7分
又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1， 8分
由AA1=AC=CB=2，AB= 得
∠ACB=90°，CD= ，A1D= ，DE= ，A1E=3，
故A1D2+DE2=A1E2，DE⊥A1D，
所以 12分
考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、四面体的体积．
20．已知椭圆 过点 ，且长轴长等于4.
（1）求椭圆C的方程；
（2） 是椭圆C的两个焦点，圆O是以 为直径的圆，直线 与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）由题意长轴长为4求得 的值，在由椭圆 过点 建立方程求解即可求出其标准方程；（2）由于圆O是以 为直径的圆，直线 与圆O相切，利用直线与圆相切的充要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据 建立k的方程求k即可.
试题解析：（1）由题意，椭圆的长轴长 ，得 ，
因为点 在椭圆上，所以 得 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）由直线l与圆O相切，得 ，即 ，
设 ，由 消去y，整理得
由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以 .
所以
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ， ，得k的值为 .
考点：椭圆的标准方程.
21．己知函数 ，其中
（1）求函数 的单调区间；
（2）若直线x-y-l=0是曲线y= 的切线，求实数 的值；
（3）设 ，求g(x)在区间 上的最大值（其中e为自然对数的底数）
【答案】（1） 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）2
【解析】
试题分析：（1）先求导函数 ，令 ，解不等式并和定义域求交集，得递增区间；令 ，解不等式并和定义域求交集，得递减区间；（2）本题考查导数的几何意义，该类问题的关键是设切点 ，利用切点在曲线 上，切点在切线 上，以及 联立求参数 的值；（3）求得 ，令 ，得 ，讨论根与定义域的位置关系，当 和 时，函数 在定义域 ，利用单调性求最值，当 时，将定义域分段，分别讨论导函数符号，判断函数大致图象，并求得最值．
试题解析：（1） ，（ ）， 1分
在区间 和 上， ；在区间 上， ．
所以， 的单调递减区间是 和 ，单调递增区间是 ． 3分
（2）设切点坐标为 ，则
解得 ， ． 6分
（3） ，则 ， 7分
解 ，得 ，
当 ，即 时，在区间 上， 为递增函数，
所以 最大值为 ． 8分
当 ，即 时，在区间 上， 为递减函数，
所以 最大值为 ． 9分
当 ，即 时， 的最大值为 和 中较大者；
，解得 ，
所以， 时， 最大值为 ，
时， 最大值为 ． 11分
综上所述，当 时， 最大值为 ，
当 时， 的最大值为 ． 12分
考点：１、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的极值、最值；3、导数的几何意义．
22．（本小题满分10分）选修4-l：几何证明选讲在 ABC中，D是AB边上一点， ACD的外接圆交BC于点E，AB= 2BE
（1）求证：BC= 2BD；
（2）若CD平分 ACB，且AC =2，EC =1，求BD的长
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）由割线定理得 ，结合已知 ，易证；（2）由割线定理得 ，结合公共角 ，易证明 ∽ ，可计算 ，又CD平分 ACB，由同弧或等弧定理得 ，设 ，结合已知条件列方程求 ．
试题解析：（1）根据割线定理得 2分
因为 ，所以 4分
（2）由 得 ，
又 ∽ ，知 ， 6分
又 ，∴ ， ∵ ，∴ ，
而 是 的平分线∴ ， 8分
设 ，由
得 ，解得 ，即 10分
考点：1、三角形相似；2、圆的割线定理．
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C： (a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为 (t为参数)，l与C分别交于M，N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.
【答案】(1)x－y－2＝0；(2)1.
【解析】试题分析：(1)利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；(2)由|PM|＝|t1|，|MN|＝|t1－t2|，|PN|＝|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解.
试题解析：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；
直线l的普通方程为x－y－2＝0． 4分
(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0 (*)
△＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．
由(*)得t1＋t2＝2(4＋a) ，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．
因为a＞0，所以a＝1． 10分
考点参数方程与极坐标
24．设函数，
（1）当 ，解不等式， ；
（2）若 的解集为 ， ，求证：
【答案】（1） ；（2）答案详见解析．
【解析】
试题分析：（1）当 时，不等式变形为 ，利用零点分段法去绝对值号，解不等式即可；（2）利用 的解集为 求参数 的值，得 ，则 ，利用基本不等式求 的最小值即可．
试题解析：（1）由已知可得，原不等式可化为
等价于 或 或
解得 或 或 原不等式的解集为 5分
（2）依题可知 ，所以 ，即 7分
9分
当且仅当 ， ,即 时取等号 10分
考点：1、基本不等式；2、绝对值不等式解法．
点击下载：新疆师范大学附属中学2015届高三12月月考数学（文）试题
