新疆师范大学附属中学2015届高三12月月考数学（理）试题
1、已知集合 ，则满足 的集合N的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2、若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的模为( )
A. B. C. D. 2
3、在平面直角坐标平面上， ，且 与 在直线 上的射影长度相等，直线 的倾斜角为锐角，则 的斜率为 ( )
A． B． C． D．
4、设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在平面 内，且
则“ ”是“ ”的（ ）
．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．即不充分不必要条件
5、若函数 的表达式是 （ ）
A． B．
C． D．
6、在右图的算法中，如果输入A=138,
B=22,则输出的结果是（ ）
A. 2 B．4 C．128 D．0
7、由直线 , ,曲线 及 轴所
围成的封闭图形的面积是（ ）
A. B.
C. D.
8、函数 在 内有极小值,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9、在 中，若 依次成等差数列，则（ ）
A． 依次成等差数列 B． 依次成等比数列
C． 依次成等差数列 D． 依次成等比数列
10、已知点 是双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点， 为 的内心，若 成立，则双曲线的离心率为
A．4 B． C．2 D．
11、设 是不等式组 表示的平面区域内的任意一点，向量 ， ，若 （ 为实数），则 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．-1 D．-2
12、定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的函数 的所有零点之和为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知 的展开式中 的系数是－35，
则 ＝
14、已知 是 所在平面内一点， ，现将一粒红豆随机撒在 内，则红豆落在 内的概率是
15、用一个边长为 的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为 的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为 .
16、已知 是数列 前 项和，且 ，对 ，总有 ，则 。
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17、已知函数 相邻两个对称轴之间的距离是 ，且满足，
（1）求 的单调递减区间；
（2）在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边， ,求△ABC的面积。
18．（本小题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为 、 ，设 为坐标原点，点 的坐标为 ，记 ．
（I）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量 的分布列和数学期望．
19．如图，四棱锥 中， . ,F为PC的中点， .
（1）求 的长：
（2）求二面角 的正弦值.
20、（本小题满分12分）已知 为抛物线 的焦点，点
为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线 与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且
（I）求抛物线方程和N点坐标；
（II）判断直线 中，是否存在使得 面积最小的直线 ，若存在，求出直线 的方程和
面积的最小值；若不存在，说明理由。
21、（本小题满分12分）
已知函数 ，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设 是函数 的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数 在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
四、选考题（本小题满分10分）请考生在第22、23、题中任选一题做答，如果多做，则按所
做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22、（本题满分10分）
已知曲线C ： （t为参数）， C ： （ 为参数）。
（1）分别求出曲线C ，C 的普通方程；
（2）若C 上的点P对应的参数为 ，Q为C 上的动点，求 中点 到直线 （t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．
23、（本题满分10分）
已知 ，设关于x的不等式 + 的解集为A．
（Ⅰ）若 ,求 ；（Ⅱ）若 , 求 的取值范围。
新疆师大附中 数学理科试卷答案
一、选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
评卷人 得分
二、填空题（题型注释）
2．用一个边长为 的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为 的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为 .
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可知蛋槽的高为 ，且折起三个小三角形顶点构成边长为 的等边三角形 ，所以球心到面 的距离 ，∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为
考点：1锥体的体积；2点到面的距离。
3．已知 是数列 前 项和，且 ，对 ，总有 ，则 。
【答案】
【解析】
试题分析：当 时, ,（负舍）,当 时， ，所以 ，由 ，所以 ，（负舍）.由此归纳得： 猜想 .因为 ，因此 ,所以由数学归纳法知猜想成立.
考点：数列通项
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17、4．（1） ;（2） .
【解析】
试题分析：（1）相邻对称轴之间的距离为半个周期，所以根据周期公式 ,可以求出 ，然后根据
可以求出 ,函数的单调递减区间为 , ,即可求出函数的单减区间;
（2）可以根据正弦定理，将 转化为 ,利用 ,确定角A的大小，然后利用余弦定理， ,分别求出各边，然后利用 .
（1）由题意知周期 ，
因为 ，所以 ， ， 3分
由 ，
所以 的单调递减区间为 6分
（2）由题意 ， ,
因为△ABC为钝角三角形，所以 舍去，故 , 8分
所以 . 12分
考点：1.三角函数的性质与图像；2.正余弦定理.
18、【解析】（I） 、 可能的取值为 、 、 ，…………………1分
， ，
，且当 或 时， ．
因此，随机变量 的最大值为 ………………………3分
有放回摸两球的所有情况有 种 ………6分
（Ⅱ） 的所有取值为 ．
时，只有 这一种情况．
时，有 或 或 或 四种情况，
时，有 或 两种情况．
， ， …………………………8分
则随机变量 的分布列为：
………………10分
因此，数学期望 …………………12分
19 1．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，-3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z= ，从而得到 ，可得PA的长为 ；
（2）由（1）的计算，得 的坐标．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出 和 分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出 夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．
试题解析：解： 如图建立空间坐标系
20．（本小题满分12分）已知 为抛物线 的焦点，点 为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线 与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且
（I）求抛物线方程和N点坐标；
（II）判断直线 中，是否存在使得 面积最小的直线 ，若存在，求出直线 的方程和
面积的最小值；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）有题意 ， 即 ， 得
所以抛物线方程为 ， ………………………………4分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为 ，设直线 的方程为 （ ）
联立方程 得 ，
设两个交点
…………………………6分
，整理得 …………8分
此时 恒成立，
由此直线 的方程可化为 从而直线 过定点 ……………9分
因为 ，所以 所在直线平行 轴
三角形 面积 …………………………11分
所以当 时 有最小值为 ，此时直线 的方程为 ……12分
21、解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；………………3分
当12<a<e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间
g(1)＝e－2a－b.………………………………6分
(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，
则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.
故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥e2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以12<a<e2.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，
则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，
解得e－2<a<1.
当e－2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))．………………………………9分
若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，
从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.
又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0，
故f(x)在(x1，x2)内有零点．
综上可知，a的取值范围是(e－2，1)．
故g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.………………………………12分
22（Ⅰ） ……………2分
（Ⅱ） 点坐标为 …………………10分
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