辽宁省实验中学分校2015届高三上学期期中考试数学（文）试题
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合 （ ）
A. B. C. D.
2、已知复数 是虚数单位，则复数 的虚部是( )
A． B． C． D．
3、设 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4、函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
5、下列选项叙述错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”
B．若 为真命题，则 ， 均为真命题
C．若命题 ，则 ： ，
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
6、要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
7、若实数 满足条件 ，则 的最大值是（ ）
A.8 B.7 C.4 D.2
8、已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
9、已知两个不同的平面 和两个不重合的直线 ，有下列四个命题：
①若 ； ②若 ；
③若 ； ④若 .
其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10、执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于（ ）
A. B. C. D.
11、已知函数 是定义在R上的奇函数， ，当 时，有 成立，则不等式 的解集是
A． B． C． D．
12、已知函数 ，若存在实数 满足
其中 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
注意事项：第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上。
13、已知 的定义域为 ,则 的定义域是
14、如图水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱 平面 ，主视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为
15、已知 点在球 的球面上, , ．球心 到平面 的距离为1，则球 的表面积为
16、已知函数 ，将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原的 倍（纵坐不变），得到函数 的图象，则关于 有下列命题
①函数 是奇函数；
②函数 不是周期函数；
③函数 的图像关于点(π，0)中心对称；
④ 函数 的最大值为 . 其中真命题为__ __________
三、解答题：本大题共6个小题，总分70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）在 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求 （2）若 , ，求 和 的值
18、（本小题满分12分）
直三棱柱 中， ，
， 、 分别为 、 的中点．
（1）求证： 平面 ； （2）求四面体 的体积．
19、（本小题满分12分）
函数 在一个周期内的图象如图所示, 为图象的最高点， 、 为图象与 轴的交点，且 为正三角形.
（1）求 的值及函数 的值域
（2）若 ,且 ,求 的值
20、（本小题满分12分）
已知函数 ， ，其中 .
（1）讨论 的单调性
（2）设函数 ，当 时，若 ， ，总有
成立，求实数 的取值范围
21、（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数 的单调区间和极值
（2）若函数 对任意 满足 ,求证：当 ,
（3）若 ，且 ，求证：
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图 是⊙ 的直径，弦 、 的延长线相交于点 ，
垂直 的延长线于点 ．求证：
（1） ； （2）
23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线 参数方程为 （ 为参数），直线 的极坐标方程为 .
（1）写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）求曲线 上的点到直线 的最大距离.
24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数 .
（1）当 时，求函数 的定义域
（2）当函数 的值域为 时，求实数 的取值范围
数学答案------文科
13、 14、 15、 16、③
17、（1） 即 ------- 3分
-------6分
(2)由(1)知, , ,
． ----------------------------------------------------12分
19、（1）由已知可得
=
又由于正三角形ABC的高为2 ,则BC=4
所以,函数 ---------4分
所以，函数 ----------------------6分
（2）因为 (1)有
由 ，得
所以, ------------------------8分
故
． --------------------------------12分
20、（1）
当 时， 在 上为增函数
当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数 --------4分
（2）由题可知，
当 时， ，
所以 的最大值为 ------------------7分
又
即 即 ------------------10分
即 -----------------------12分
21、解：⑴∵ = ，∴ = .
令 =0，解得 .
2
＋ 0 －
↗ 极大值
↘
∴ 在 内是增函数，在 内是减函数.
∴当 时， 取得极大值 =
22、证明：⑴连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°，则A、D、E、F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA. --------------------------------------5分
⑵由(1)知，BD BE=BA BF.
又△ABC∽△AEF，∴ ，即AB AF=AE AC.
∴ BE BD－AE AC =BA BF－AB AF =AB(BF－AF) =AB2. -------------------------10分
23、解：⑴由 得 ，
∴ .
由 得 . -------------------------------5分
⑵在 上任取一点 ，则点 到直线 的距离为
∴当 －1，即 时， . --------------------------------10分
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