德阳五中2015届高三上学期第三次月考数学（文）试题
说明：
1. 本试卷分第I卷和第II卷，第I卷1—2页，第II卷3—4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将答题卡交回.
2. 本试卷满分150分,120分钟完卷.
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请将正确的选项填涂在答题卡上).
1．已知集合 ，则 等于( )
A． B． C． D．
2．设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在平面 内，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．直线 , 若 则 （ ）
A． B．2 C．3或 D． 或2
4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图
中的 的值是（ ） A．2 B． C． D．3
5．已知角 的终边在第四象限，且与单位圆交于 ,则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．阅读右侧的算法框图，输出的结果 的值为 （ ）
A． B． C．0 D．
7．若 , , , ，则（ ）
A． B． C． D．
8．由不等式组 围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于 的函数 ，则( )
A． B． C. D． 符号不确定
9．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，以坐标原点 为圆心， 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ,则当 的面积等于 时，双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．2
10．已知 ,若关于 的方程 恰好有4个不相等的实数根,则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
第II卷(非选择题 共100分)
二、填空题(共5小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卷上)
11．已知复数 为实数， 为虚数单位，则实数 的值为 .
12．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从身高在[120,130 内的学生中选取的人数应为 ．
13．已知矩形 中， ， ， 分别为 、 的中点，则 .
14．在△ 中， 分别是角A、B、C所对的边，若 ，若则 的最大值为 .
15．已知 是函数 图象上的任意一点， 是该图象的两个端点， 点 满足
，（其中 是 轴上的单位向量），若 在区间 上恒成立，则称 在区间 上具有 “ 性质”.现有函数：
① ; ② ； ③ ； ④ .
则在区间 上具有“ 性质”的函数为 .
三、解答题(本小题共6个小题, 共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）设数列 是一个公差为 的等差数列，已知它的前10项和为 ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
17. （本小题满分12分）
某工厂生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:大于或等于7.5为正品,小于7.5为次品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测,检测结果记录如下:
A 7 7 7.5 9 9.5
B 6 8.5 8.5
由于表格被污损，数据看不清，统计员只记得B元件最后一次检测结果比第二次检测结果多1，且A,B两种元件的检测数据的平均值相等。
（I）求被污损表格中的值；
（II）若从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率.
18. （本小题满分12分）
设函数 图像上的相邻的最高点与最低点之间的距离为 ．
（1）求 的值及单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为 ，且 ， ，求 的值域．
19．（本小题满分12分）定义函数 ( 为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的 的模.若模存在最大值，则称之为函数 的长距；若模存在最小值，则称之为函数 的短距.
(1)分别判断函数 与 是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)对于任意 是否存在实数 ，使得函数 的短距不小于2，若存在，请求出 的取值范围；不存在，则说明理由？
20．（本小题满分13分）．已知二次函数 + 的图象通过原点，对称轴为 ， ． 是 的导函数，且 ．
（1）求 的表达式（含有字母 ）；
（2）若数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式；
（3）在（2）条件下，若 ， ，是否存在自然数 ，使得当 时 恒成立?若存在，求出最小的 ；若不存在，说明理由．
21. （本小题满分14分）
已知函数 ，其中 且 .
（1）讨论 的单调性；
(2) 若不等式 恒成立，求实数 取值范围；
（3）若方程 存在两个异号实根 ， ，求证：
数 学 试 卷（文史类）(参考答案)
一：选择题（每题5分，共10小题）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D
D B C C B
D
二：填空题（每小题5分，共5小题）
11. 12. 10 13.
14. 15. ①②③④
三：解答题
16.解：（1）设数列{an}的前 项和为 ，
∵S10 = 110，∴ ．
则 ．① ……2分
∵a1，a2，a4 成等比数列，
∴ ，即 ．∴ ． …… 4分
∵d 0，∴a1 = d．②
由①，②解得 ，∴ ． … … 6分
（2）∵ = ， ……… 7分
∴ ． ……… 8分
∴ ． ……… 12 分
17.解：设 元件第二次和最后一次检测结果分别是
∵ 由
又 ， ……5分
元件第二次检测结果为8，最后一次检测结果为9.………6分
（2）记被检测的5件 元件分别为 其中 为正品。
从中任取2件，共有10个基本事件，列举如下：
………8分，
记“2件都为正品为事件包含以下6个基本事件：
， ………10分
.即2件都为正品的概率为 .………12分
18. 解：（1） ，………2分
由条件， . ………4分
令 ………5分
解得单调递增区间: ………6分
（2）由余弦定理：
……7分
又 ，故 ，
又 ，故 ……9分
由 ，
，所以 的值域为 .………12分
19. 解：（1）设 （当且仅当 取得等号）
短距为 ，长距不存在。 3分
（2）设
短距为 ，长距为5。 6分
（2）设 函数 的短距不小于2
即 对于 始终成立 7分
当 时： 对于 始终成立 9 分
当 时：取 即可知显然不成立 10分
当 时： 对于 始终成立
综上 12分
20. 解析：（1）由已知，可得 ， ， 1分
∴ 解之得 ， 3分
4分
（2） 5分
= 8分
（3）
9分
（1）
（2）
（1）—（2）得： … 11分
= ，即 ，当 时， … 12分
，使得当 时， 恒成立 13分
21.解: (１) 的定义域为 .
其导数 1分
① 时, ,函数在 上是增函数; 2分
②当 时,在区间 上, ;在区间(0,+∞)上, ．
所以, 在 是增函数,在(0,+∞)是减函数. 4分
(２)令 ,则
问题化为求 恒成立时 的取值范围.
由于 ……5分
① ，此时无最小值 7分
②当 ，
在区间 上, ;在区间 上, . 8分
的最小值为 ,所以只需
即 , , 10分
(３)由于 存在两个异号根 ，不仿设 ，因为 ,所以
构造函数: ( )…………………11分
所以函数 在区间 上为减函数. ,则 ,
于是 ,又 , ,由 在 上为减函数可知 .即 14分
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