日照市2015届高三12月校际联合检测数学（文）试题
2014.12
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共5页。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ，则
A. B. C. D.
2.若角 的终边过点 ，则 的值为
A. B. C. D.
3.设 为平面， 为直线，则 的一个充分条件是
A. B.
C. D.
4.已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数 的图象，只要将 的图象
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
5.已知函数 ，则
A. B.0 C.1 D.2
6.函数 的图象大致为
7.已知四棱锥 的三视图如图所示，则围成四棱锥 的五个面中，最大的面积是
A.3 B.6
C.8 D.10
8.在R上定义运算*： .若关于 的不等式 的解集是集合 的子集，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
9.实数 满足 ，若 的最大值为13，则实数k的值是
A.2 B. C. D.5
10.已知定义在R上的函数 是奇函数且满足 ，数列 满足 （其中 为 的前 项和），则
A.3 B.2 C. D.
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.设向量 是夹角为60°的两个单位向量，则 ___________.
12.在 中，角A，B，C的对边分别为 ，且 ，面积 ，则b=___________.
13.已知函数 ，若函数 的图象在点 处切线的倾斜角为 ，则 ___________.
14.请阅读下列材料：
若两个正实数 满足 ，求证： .
证明：构造函数 ，因为对一切实数 ，恒有 ，所以 ，从而得 ，所以 .
根据上述证明方法，若 个正实数满足 时，你能得到的结论是__________________.
15.已知函数 满足 ，当 时， 在区间 上，函数 恰有一个零点，则实数 的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本小题满分12分）
已知函数 .
（I）求函数 的单调递减区间；
（II）当 时，函数 的最小值是 ，求 的最大值.
17.（本小题满分12分）
已知函数 在区间 上有最小值1和最大值4，设 .
（I）求 的值；
（II）若不等式 在区间 上有解，求实数k的取值范围.
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中. 平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2,E为PC的中点，CB=3CG..
（I）求证： ；
（II）AD边上是否存在一点M，使得PA//平面MEG？若存在，求AM的长；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分12分）
设公比大于零的等比数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，满足 .
（I）求数列 、 的通项公式；
（II）设 ，若数列 是单调递减数列，求实数 的取值范围.
20.（本小题满分13分）
某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：
，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.
（I）当 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
21.（本小题满分14分）
已知函数 .
（I）当 时，求 的极值；
（II）当 时，求 的单调区间；
（III）若对任意 及任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围.
2014年高三校际联合检测
文科数学参考答案及评分标准
说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
一、选择题：每小题5分，共50分.
1-5 BBDCD 6-10 ACDCA
（1）解析：答案B. ， ∴ ， ∴ .
（2）解析：答案B. 因为角 的终边过点 ，所以 ，
所以
（3）解析：答案D. 因为 ，所以 ，又因为 所以 .
（4）解析：答案C.由题意知 ， ，故选C.
（5）解析：答案D.由 得 ，即 ，于是 .
（6）解析：答案A. 首先由 为奇函数，得图象关于原点对称，排除C、D，又当 时， 知，选A.
（7）解析：答案C.由三视图可知，几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为矩形，矩形的边长分别为2,4，底面面积为8，可以求得四个侧面的面积分别为 ，于是最大面积为8.
（8）解析：答案D.由题意得， ，
所以 ，即 . 当 时，不等式的解集为空集，符合题意；
当 时，不等式的集解为 ，又解集为 的子集，所以 ，得 ；
当 时，不等式的集解为 ，又解集为 的子集，所以 ，
得 .综上所述， 的取值范围是 .
（9）解析：答案C. 作出不等式组对应的平面区域如图：
由 得 ，所以直线的截距最大，对应的 也取得最大值，
即平面区域在直线 的下方，且 (当 时，经验证不合
题意).平移直线 ，由图象可知当直线 经过点A时，
直线的截距最大， 此时 取最大值13，由 解得 ，
即 ，此时 ，解得
（10）解析：答案A.由函数 为奇函数得 ，又 ，所以 ，所以 ， ，
即函数 是以3为周期的周期函数. 由 两式相减并整理得， ，即 ，所以数列 是以2为公比的等比数列，首项为 ，故 ，所以 ，
所以
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（11） ；（12）5;（13）4; (14) ;（15） .
（11）解析:
（12）解析：由面积公式 ，带入已知条件得 ，再由余弦定理得
（13）解析：由题意，函数在点 处的切线斜率是 ，即 ，又 ，
所以 ，即 .
（14）解析：类比给出的材料，构造函数 ，由对一切实数 ，恒有 ，所以 ，即可得到结论.
（15）解析：当 时， ，
则 .在坐标系内画出分段函数图象：
由题意可知： .当直线与曲线 相切时，
解得 ；所以 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（16）解：（Ⅰ）
令 ，得 ，
所以， 的单调递减区间是 . ……………………6分
（Ⅱ）因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，令 ，得 ，
所以， ……………………………………12分
（17）解：（Ⅰ） ，因为 ，所以 在区间 上是增函数，
故 ，解得 ． ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由已知可得 ，所以 可化为 ，
因为 ，所以 . 令 ，则 ，又 ，故 .
记 ，因为 ，故 ，
所以使不等式有解的 的取值范围是 . ………………………………………12分
(18)(Ⅰ)证明：因为 平面 ，所以 .
又因为 是正方形, 所以
又 , 所以 平面 .
又因为 面 ，所以 ………………………4分
(Ⅱ) 连结 、 交于 点，连结 ，延长 交 于点 ，
则 //平面 .
证明如下：
因为 为 的中点， 是 的中点，
所以 // ， ……………………………………8分
又因为 平面 ，
所以 //平面 .
又 ≌ ,所以 所以所求 的长为 ………………12分
（19）解：（Ⅰ）当 时，经验证不符合题意；
当 且 时，由 ， ，解得 ，
又 , 所以 . ………………………………………………3分
又 两式相减得 （ ，
所以 ,
当 时， 也满足上式，所以 ． ……………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，所以 ，要使数列 是单调递减数列，
则 对 恒成立，
即 恒成立，所以 ， ………………………10分
因为 ，
所以当 或 时， 所以 ． …………………………12分
（20）解：（Ⅰ）当 时，设该项目获利为 ，则
. …………………………………………………4分
所以当 时， .因此，该项目不会获利.
当 时， 取得最大值 ，
所以政府每月至少需要补贴 元才能使该项目不亏损. ………………………6分
（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
. ……………………………………8分
当 时，
所以当 时， 取得最小值 ; ……………………………………………10分
当 时，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值
因为 ，所以当每月处理量为 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 ……13分
(21)解：（Ⅰ）当 时， ， .
令 ，得 令 ，得 ，即 在 上递减，在 上递增，
所以 的极小值为 无极大值. ………………………4分
（Ⅱ） ，
当 即 时，
令 , 得 或 .令 得
当 即 时，
令 , 得 ，令 , 得
当 时， .
综上所述，当 时， 的递减区间为 和 ，递增区间为 ；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 的递减区间为 和 ，递增区间为 . …………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当 时， 在区间 上单调递减.
当 时， 取得最大值；当 时， 取得最小值.
.
因为 恒成立，
即 ，整理得 ，
又 所以 恒成立.
由 得 所以 ………………………………………14分
2014年高三校际联合检测
文科数学参考答案及评分标准
说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
一、选择题：每小题5分，共50分.
1-5 BBDCD 6-10 ACDCA
（1）解析：答案B. ， ∴ ， ∴ .
（2）解析：答案B. 因为角 的终边过点 ，所以 ，
所以
（3）解析：答案D. 因为 ，所以 ，又因为 所以 .
（4）解析：答案C.由题意知 ， ，故选C.
（5）解析：答案D.由 得 ，即 ，于是 .
（6）解析：答案A. 首先由 为奇函数，得图象关于原点对称，排除C、D，又当 时， 知，选A.
（7）解析：答案C.由三视图可知，几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为矩形，矩形的边长分别为2,4，底面面积为8，可以求得四个侧面的面积分别为 ，于是最大面积为8.
（8）解析：答案D.由题意得， ，
所以 ，即 . 当 时，不等式的解集为空集，符合题意；
当 时，不等式的集解为 ，又解集为 的子集，所以 ，得 ；
当 时，不等式的集解为 ，又解集为 的子集，所以 ，
得 .综上所述， 的取值范围是 .
（9）解析：答案C. 作出不等式组对应的平面区域如图：
由 得 ，所以直线的截距最大，对应的 也取得最大值，
即平面区域在直线 的下方，且 (当 时，经验证不合
题意).平移直线 ，由图象可知当直线 经过点A时，
直线的截距最大， 此时 取最大值13，由 解得 ，
即 ，此时 ，解得
（10）解析：答案A.由函数 为奇函数得 ，又 ，所以 ，所以 ， ，
即函数 是以3为周期的周期函数. 由 两式相减并整理得， ，即 ，所以数列 是以2为公比的等比数列，首项为 ，故 ，所以 ，
所以
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（11） ；（12）5;（13）4; (14) ;（15） .
（11）解析:
（12）解析：由面积公式 ，带入已知条件得 ，再由余弦定理得
（13）解析：由题意，函数在点 处的切线斜率是 ，即 ，又 ，
所以 ，即 .
（14）解析：类比给出的材料，构造函数 ，由对一切实数 ，恒有 ，所以 ，即可得到结论.
（15）解析：当 时， ，
则 .在坐标系内画出分段函数图象：
由题意可知： .当直线与曲线 相切时，
解得 ；所以 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（16）解：（Ⅰ）
令 ，得 ，
所以， 的单调递减区间是 . ……………………6分
（Ⅱ）因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，令 ，得 ，
所以， ……………………………………12分
（17）解：（Ⅰ） ，因为 ，所以 在区间 上是增函数，
故 ，解得 ． ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由已知可得 ，所以 可化为 ，
因为 ，所以 . 令 ，则 ，又 ，故 .
记 ，因为 ，故 ，
所以使不等式有解的 的取值范围是 . ………………………………………12分
(18)(Ⅰ)证明：因为 平面 ，所以 .
又因为 是正方形, 所以
又 , 所以 平面 .
又因为 面 ，所以 ………………………4分
(Ⅱ) 连结 、 交于 点，连结 ，延长 交 于点 ，
则 //平面 .
证明如下：
因为 为 的中点， 是 的中点，
所以 // ， ……………………………………8分
又因为 平面 ，
所以 //平面 .
又 ≌ ,所以 所以所求 的长为 ………………12分
（19）解：（Ⅰ）当 时，经验证不符合题意；
当 且 时，由 ， ，解得 ，
又 , 所以 . ………………………………………………3分
又 两式相减得 （ ，
所以 ,
当 时， 也满足上式，所以 ． ……………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，所以 ，要使数列 是单调递减数列，
则 对 恒成立，
即 恒成立，所以 ， ………………………10分
因为 ，
所以当 或 时， 所以 ． …………………………12分
（20）解：（Ⅰ）当 时，设该项目获利为 ，则
. …………………………………………………4分
所以当 时， .因此，该项目不会获利.
当 时， 取得最大值 ，
所以政府每月至少需要补贴 元才能使该项目不亏损. ………………………6分
（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
. ……………………………………8分
当 时，
所以当 时， 取得最小值 ; ……………………………………………10分
当 时，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值
因为 ，所以当每月处理量为 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 ……13分
(21)解：（Ⅰ）当 时， ， .
令 ，得 令 ，得 ，即 在 上递减，在 上递增，
所以 的极小值为 无极大值. ………………………4分
（Ⅱ） ，
当 即 时，
令 , 得 或 .令 得
当 即 时，
令 , 得 ，令 , 得
当 时， .
综上所述，当 时， 的递减区间为 和 ，递增区间为 ；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 的递减区间为 和 ，递增区间为 . …………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当 时， 在区间 上单调递减.
当 时， 取得最大值；当 时， 取得最小值.
.
因为 恒成立，
即 ，整理得 ，
又 所以 恒成立.
由 得 所以 ………………………………………14分
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