高 三 数 学（理）
本试卷共5页，分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，检测时间120分钟.
第I卷（选择题，共50分）
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上.
一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若 ，则
A. B.
C. D.
2.抛物线 的焦点坐标为
A. B. C. D.
3.已知 ，命题“若 ，则 ”的否命题是
A.若 B.若
C.若 D.若
4.命题“ 为真”是命题“ 为真”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设曲线 在点 处的切线方程为 ，则
A.0 B.1 C.2 D.3
6.设 ，若 的最小值为
A. B.8 C. D.
7.函数 的图象可能是
8.将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 的图象都经过点 ，则 的值可以是
A. B. C. D.
9.双曲线 的离心率 ，则以双曲线的两条渐近线与抛物线 的交点为顶点的三角形的面积为
A. B.
C. D.
10.已知 是自然对数的底数，函数 的零点为 ，函数 的零点为b，则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1.第II卷包括填空题和解答题共两个大题；
2.第II卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.
11.函数 的定义域为__________.
12.若变量 满足约束条件 的最小值为 ，则 =_________.
13.已知正方体 中，点E是棱 的中点，则直线AE与平面 所成角的正弦值是_________.
14.已知圆O过椭圆 的两焦点且关于直线 对称，则圆O的方程为_______.
15.如果对定义在R上的函数 ，对任意两个不相等的实数 都有 ，则称函数 为“H函数”.
给出下列函数：① ；② ；③ ；④ .
以上函数是“H函数”的所有序号为__________（把所有正确命题的序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为 ，且满足
（I）求 ； （II）求△ABC的面积.
17.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2.在梯形ACEF中，EF//AC，且 平面ABCD.
（I）求证： ；
（II）若二面角 为45°，求CE的长.
18.（本小题满分12分）
设等差数列 的前 项和为 .数列 的前 项和为 ，且 .
（I）求数列 的通项公式；
（II）设 ，求数列 的前 项和 .
19.（本小题满分12分）
某市近郊有一块大约 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米.
（I）分别用 表示 和S的函数关系式，并给出定义域；
（II）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.
20.（本小题满分13分）
已知椭圆 的离心率为 ，右焦点 到直线 的距离为 .
（I）求椭圆C的方程；
（II）过椭圆右焦点 斜率为 的直线 与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线 于点M，N，线段MN的中点为P，记直线 的斜率为 ，求证： 为定值.
21.（本小题满分12分）
设函数 .
（I）当 时，求 的极值；
（II）设 上单调递增，求 的取值范围；
（III）当 时，求 的单调区间.
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共50分） DBABD DABCC
二、填空题（每小题5分，共25分）
11． 12． 13． 14． 15．②③
三、解答题：16．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由正弦定理可得 ， ……………2分
即 ，由余弦定理得 ，……………4分
又 , 所以 ；
因为 ，所以 . …………………6分
所以
. ……………………8分
（Ⅱ）在 中，由正弦定理 ,
得 ，解得 ， ……………………10分
所以 的面积 .………12分
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在 中, ，
所以 ,由勾股定理知 所以 ． ……2分
又因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ．………4分
又因为 所以 ⊥平面 ，又 平面
所以 ． ………………………6分
（Ⅱ）因为 ⊥平面 ，又由（Ⅰ）知 ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 , , ， , ， .……8分
设平面 的法向量为 ，则 所以 ，令 .所以 . …………………9分
又平面 的法向量 ……………………………10分
所以 ， 解得 ． ……………………11分
所以 的长为 ． ……………………………………12分
18．（ 12分）解：（Ⅰ）由题意， ，得 ． ………3分
， ，
，两式相减，得
数列 为等比数列， ． …………6分
（Ⅱ） ．
当 为偶数时，
． ……………9分
当 为奇数时，
． …………11分
． ………12分
19.（12分）解：(Ⅰ)由已知 ， ，其定义域是 .
又 ， ，
,其定义域是 .……………6分
(Ⅱ) ，
当且仅当 ，即 时，上述不等式等号成立，
此时， ， ， .
答：设计 ， 时，运动场地面积最大，最大值为 平方米.……12分
20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得 ， ，…………2分
所以 ， ，所求椭圆方程为 ． …………………… 4分
（Ⅱ）设过点 的直线 方程为： ，
设点 ，点 ， …………………………………5分
将直线 方程 代入椭圆 ，
整理得： ………………………………… 6分
因为点 在椭圆内，所以直线 和椭圆都相交， 恒成立，
且 …………………………7分
直线 的方程为： ，直线 的方程为：
令 ，得点 ， ，所以点 的坐标 ，
……………………9分
直线 的斜率为
，……… 11分
将 代入上式得：
，
所以 为定值 ． ………………………………… 13
21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数 的定义域为 …………………1分
当 时， ，∴ ………………2分
由 得 随 变化如下表：
[]
— 0 +
减函数 极小值 增函数
故， ，没有极大值. …………………………4分
（Ⅱ）由题意， ，在 上单调递增，
在 上恒成立，
设 在 上恒成立， ………………………………5分
当 时， 恒成立，符合题意. ………………………………………6分
当 时， 在 上单调递增， 的最小值为 ，
得 ，所以 , ………………………………………8分
当 时， 在 上单调递减，不合题意,
所以 （也可以用分离变量的方法）……………………………10分
（Ⅲ）由题意， ，令 得 ， 10分
若 ，由 得 ；由 得 …………11分
若 ，①当 时， ， 或 时， ；
时， ；
②当 时， ；
③当 时， 或 , ; ,
…………………………13分
综上，当 时，函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时，函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时，函数的单调递减区间为 ；
当 时，函数的单调递减区间为 单调递增区间为 ．
…………………………14分
点击下载：山东省高密市2015届高三12月检测数学理试题
