桂林市第十八中学2015届高三上学期第四次月考
数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={–3，–1，0，1，2}，B={–2，–1，2，4，6}，设M={x|x∈A，且x B}，则M=
A．{–3, –1,2} B．{–l,0,1} C．{–3,0,1} D．{–3,0,4}
2．若复数z满足（3 – 4i）z=4+3i，则|z|=
A．5 B．4
C．3 D．1
3．根据市场统计，某商品的日销售量X（单位：kg）的频
率分市直方图如图所示，则由频率分布直方图得到
该商品日销售量的中位数的估计值为
A．35 B．33．6
C．31．3 D．28．3
4．双曲线 的焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比为
A． B． C．2 D．
5．设a∈R，则“直线l1： 与直线l2： 平行”是“a=1”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，3S2，5S3成等差数列，则{an}的公比为
A． B． C． D．
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．24+ B．24+2
C．12+4 D．12 +2
8．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1= –2，a2= –2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为
A．0．3 B．0．4
C．0．5 D．0． 6
9．若x、y满足 目标函数z=x–ky的最大值为9，
则实数k的值是
A．2 B．-2
C．1 D．-1
10．已知△ABC中，AB=3，AC =2，D是BC边上一点．A，P，D三点共线，
若 ，则△BPD与△CPD的面积比为
A． B． C． D．
12．已知定义域为R的奇函数f（x），当x≥0时， ，恒有
f（x +a）≥f（x），则实数a的取值范围是
A．[0,2] B．{0} ∪ [2, +∞） C． [0， ] D．{0} ∪ [16, +∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数
的部分图象如图所示，则
14．已知数列 的前9项和S9= 。
15．将2名主治医生，4名实习医生分成2个小组，分别安排到A、B两地参加医疗互助活动，每个小组由1名主治医生和2名实习医生组成，实习医生甲不能分到A地，则不同的分配方案共有
种．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
如图，为测得河对岸某建筑物AB的高，先在河岸上选一点C，使C在建筑物底端B的正东方向上，测得点A的仰角为α，再由点C沿东偏北β（β< ）角方向走d米到达位置D，测得∠BDC=γ．
（I）若β=75°，求sin∠BCD的值；
（Ⅱ）求此建筑物的高度（用字母表示）．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两名射击运动员参加某项有奖射击活动（射击次数相同）．已知两名运动员射击的环数都稳定在7，8，9，10环，他们射击成绩的条形图如下：
（I）求乙运动员击中8环的概率，并求甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率．
（Ⅱ）甲、乙两名运动员现在要同时射击4次，如果甲、乙同时击中9环以上（包括9环）3次时，可获得总奖金两万元；如果甲、乙同时击中9环以上（包括9环）4次时，可获得总奖金五万元，其他结果不予奖励．求甲、乙两名运动员可获得总奖金数的期望值．
（注：频率可近似看作概率）
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，∠BAD=135°，AD=DC= ，
SA=SC=SD=2．
（I）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角A - SB -C的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 ，左焦点到直线x一y一2=0的距离为 ，左焦点到左顶点的距离为 .
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点M（2，0）交椭圆于A，B两点，是否存在点N（t，0），使得 ，
若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
设函数
（I）设 ，讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）过两点 的直线的斜率为 ，求证： .
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B，E，H，D四点共圆，F在AC上，且∠DEC=∠FEC．
（I）求∠B的度数；
（Ⅱ）证明：AE=4F．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知倾斜角为 的直线 经过点P（1，1）．
（I）写出直线 的参数方程；
（Ⅱ）设直线 与 的值。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（I）求 的最大值；
（Ⅱ）若关于x的不等式 有实数解，求实数k的取值范围。
桂林十八中12级高三第四次月考试卷
理科数学答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B A A B B C B A D D
8.解析：该程序框图的功能是求 个数的平均数，输入5个数的平均数为 ，选C．
9.解析：作可行域，得最优解可能是 、 、 ，由选项，若 ，则目标函数 在点 处取最大值 ，排除 ；若 ，则目标函数 在点 处取最小值 ，在点 处取最大值 ；同理，若 ，最大值为 ，排除 ；若 ，最大值为 ，排除 . 故选B．
10.解析：因为 ，所以点 在 的角平分线上．因为 ， ，从而 ，所以 与 的面积比为 ．
故选A．
，
14.解析：因为 ，所以数列 为等差数列，由 得 所以 ，所以 .
15.解析先安排甲到 地,再从其余 名实习医生中选一名去 地,有 种选法，再把2名主治医生分到 、 两地有 种方法，由分步乘法原理得： 种分配方案.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：(Ⅰ)
. ………5分
(Ⅱ)因为 ，
所以在三角形 中，由正弦定理 得： ， ………9分
在直角三角形 中，由 得： ，
所以，此建筑物的高度为 （米） ………12分
18.解：（Ⅰ）记“甲运动员击中 环”为事件 ,“乙运动员击中 环”为事件 ,
所以
所以甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率： ………5分
（Ⅱ）记甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的次数为随机变量 ， 的可能取值：
、 、 、 、 ，则 ，其中 ，
所以
则 ， ………8分
记甲、乙两名运动员获得总奖金数(万元)为随机变量 ， 的可能取值： 、 、 ，
则
所以 （元） ………12分
20.解：(Ⅰ)设左焦点 ，则 到直线 的距离 ， 得 ，或 （舍）.
又因为 ，所以 .
所以 .
所以椭圆 ： . ………………………4分
(Ⅱ)假设存在满足条件的实数 ，
当直线 斜率不存在时，直线 与椭圆无交点，不符合条件；
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ， ，
由 得 ，整理得 .
， 化简得 即 . …………6分
所以 . ………………………7分
设 中点为 ，则 ，所以 ， . ……8分
因为 ，所以 ， ………………………9分
当 时， ， ，
，解得 ……………………10分
当 时， ，即 ，
解得 ………………………11分
因为 ，所以 .
所以存在 . ………………………12分
21.(Ⅰ)解： ，所以 ，
函数 的定义域为 ，而 .
………2分
①当 时，即 时，恒有 ，函数 在 上是增函数；
②当 ，即 时，令 ，得 ，解得 ；
令 ，得 ，解得 ；
综上，当 时，函数 在 上是增函数；
当 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数． ………5分
(Ⅱ)证明： ， ………6分
要证 ，因为 ，
即证 ，令 ，则 ，
则只要证 ， ………8分
①设 ，则 ，
故 在 上是增函数.
所以当 时， ，即 成立． ………10分
②要证 ，由于 ，即证 ，
设 ，则 ，
故函数 在 上是增函数，
所以当 时， ，即 成立.
由①②知 成立，得证． ………12分
第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.（Ⅰ）解：因为 四点共圆，所以 ． …………1分
因为 的两条角平分线 和 相交于 ,所以 ．……3分
因为 ，所以 ，解得 ． ………5分
（Ⅱ）连接 ，则 是 的平分线． …………6分
因为 四点共圆， ，
所以 ， ．…………8分
因为 ，
所以 ，可知 ．
又因为 平分 ，所以 ． …………10分
23.解：（Ⅰ）直线 的参数方程为 ，即 ……………………4分
（Ⅱ）将 代入 ，化简整理得： ………6分
所以， ……………………………………7分
因为直线 经过圆心，所以， …………………………………8分
所以， = ………………………………………………10分
24.解：（Ⅰ）依题意有： ，令 ，则 ，所以， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故 的最大值为4…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 的最大值为4，又因为关于 的不等式 有解，
所以， ，解得， ，即 ………………………… 10分
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