岳阳县一中、湘阴县一中2015届高三12月联考
数学（理）试题
时量：150分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、复数 （i为虚数单位)在复平面内所对应的点位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3、在 中， 若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为（ ）
A.15 B. C. D.
4、已知命题 ，命题 ，则命题 是命题 成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5、若 是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有 （ ）
① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ .
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6、已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有 （ ）
A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④
7、不等式组 的解集记为 ，若 则 （ ）
A. B. C. D.
8、设 下列关系式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
9、已知函数 的定义域为 ,值域为 ，则 的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
10、已知 ，则 的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11、已知 为角 终边上的一点，则 = ．
12、设函数 在 内有定义，下列函数： ； ； ； 中必为奇函数的有 ．
13、如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为1m的正方体 中分离出来的.如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛 体积的水.
14、已知两个向量 的夹角为 且 ，设两点 的中点为点 ,则 的最小值为 ．
15、定义在 上的函数 如果满足：对任意 ,存在常数 ,都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的界.
已知函数 在区间 上是以3为界的有界函数，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）
已知数列 是等差数列,且 ，数列 的前 项的和为 ,且 .
（1）求数列 , 的通项公式;
（2） 记 ,求证: .
17、（本小题满分12分）
已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)若方程 有唯一解，试求实数 的值．
18、（本小题满分12分）
设函数 ,直线 与函数 图像相邻两交点的距离为 .
（1）求 的值；
（2）在 中，角 所对的边分别是 ，若点 是函数 图像的一个对称中心，且 =3，求 面积的最大值.
19、（本小题满分13分）
等差数列 的前 项和 ，数列 满足 ．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：
① ； ② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．
（1）求数列 的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数 的值；
（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角 的三角恒等式，并证明你的结论．
20、（本小题满分13分）
已知由非负整数组成的数列 满足下列两个条件：
① ， ，② …
（1）求 ；
（2）证明 …；
（3）求 的通项公式及其前 项和 .
21、（本小题满分13分）
已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，求函数 的最大值的表达式 .
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、复数 （i为虚数单位)在复平面内所对应的点位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解： 对应点坐标为
答案：C
2、已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
解:
所以 ，故
答案：A
3、在 中， 若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为（ ）
A.15 B. C. D.
解：在 中， 则角 所对的边 最长，
三边长构成公差为4的等差数列，不防设
由余弦定理得
即
所以
答案:B
4、已知命题 ，命题 ，则命题 是命题 成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：
故 ， ，命题 是命题 成立的必要不充分条件
答案：B
5、若 是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有 （ ）
① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ .
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案： D
解： 为等差数列,则由其定义可知①、③、④、⑤仍然是等差数列.
6、已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有 （ ）
A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④
答案：D
7、不等式组 的解集记为 ，若 则 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
作出不等式组所表示的图象知A正确.
8、设 下列关系式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
解： 所以
答案:A
9、已知函数 的定义域为 ,值域为 ，则 的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
解：可取 ，
答案： A
10、已知 ，则 的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
解：法一:构造函数 在 时单调递减.又
所以 即
法二:结合函数 图象交点判断.
答案： A
二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11、已知 为角 终边上的一点，则 = ．
解：
答案:
12、设函数 在 内有定义，下列函数： ； ； ； 中必为奇函数的有 .
答案:（2）（4）
13、如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为1m的正方体 中分离出来的.如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛 体积的水.
答案:
14、已知两个向量 的夹角为 且 ，设两点 的中点为点 ,则 的最小值为 .
解:设
当且仅当 时取等号
的最小值为1
15、定义在 上的函数 如果满足：对任意 ,存在常数 ,都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的界.已知函数 在区间 上是以3为界的有界函数，则实数 的取值范围是 .
解： 对区间 上任意 恒成立
设 ，记
可知 在区间上递减， 在区间 上递增
所以 最大值为－5, 最小值为1
答案：
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）
已知数列 是等差数列,且 ，数列 的前 项的和为 ,且 .
（1）求数列 , 的通项公式;
（2） 记 ,求证: .
解：（1）设等差数列 的公差为 ，又
所以
所以数列 的通项公式的
又当 时有 ，所以
当 时，有 ，所以
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
所以
由(1)知
所以
所以
17、（本小题满分12分）
已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)若方程 有唯一解，试求实数 的值．
解 (1)因为 ，所以切线的斜率 .
又f(1)＝1，故所求的切线方程为 ．即 .
(2)原方程等价于 ，
令 ，则原方程即为 .
因为当 时原方程有唯一解，所以函数 与 的图象在 轴右侧有唯一的交点．
又 ，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
即 在 上单调递增，在(0,4)上单调递减，故 在x＝4处取得最小值，
又 且 无限趋近0时， 无限趋近正无穷大， 无限趋近正无穷大时， 也无限趋近正无穷大
从而当 时原方程有唯一解的充要条件是 .
18、（本小题满分12分）
设函数 ,直线 与函数 图像相邻两交点的距离为 .
（1）求 的值；
（2）在 中，角 所对的边分别是 ，若点 是函数 图像的一个对称中心，且 =3，求 面积的最大值.
解：（1）
的最大值为 ， 的最小正周期为 , …………………………6分
（2）由（1）知 ,
因为点 是函数 图像的一个对称中心
，……………8分
， ，
故 ， 面积的最大值为 .……………12分
19、（本小题满分13分）
等差数列 的前 项和 ，数列 满足 ．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：
① ； ② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．
（1）求数列 的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数 的值；
（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角 的三角恒等式，并证明你的结论．
解：（1）当 时， …1分
当 时， …3分
∵当 时， 适合此式 ∴数列 的通项公式为 …5分
选择②，计算如下： …6分
＝
＝ ＝ …8分
（2）由（1）知， ，
因此推广的三角恒等式为 …10分
证明:
=
=
= ＝ …13分
20、（本小题满分13分）
已知由非负整数组成的数列 满足下列两个条件：
① ， ，②
（1）求 ；
（2）证明 ；
（3）求 的通项公式及其前 项和 .
解：（1）由题设得 ，且 、 均为非负整数，所以 的可能的值为1，2，5，10.
若 ，则 ， ，与题设矛盾，
若 ，则 ， ，与题设矛盾，
若 ，则 ， ， ，与题设矛盾，
所以
（2）用数学归纳法证明
（i）当 ， ，等式成立
（ii）假设当 （ ）时等式成立，即 ，
由题设 ，
∵ ，∴ ,
也就是说，当 时，等式 成立
根据（i）和（ii），对于所有 ，有
（3）由 ， 及 ， ，
得 ， ，
即 ，
所以
21、（本小题满分13分）
已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，求函数 的最大值的表达式 .
解：当 时，又 ，所以 恒成立，则 ，
，
当 时， ；当 ，又
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2）
当
所以 时， 单调递增.
(i)当 时， 在 单调递增，在 上单调递增，则
（ii）当 时， 在 单调递增， 单调递减， 上单调递增
函数 的最大值在 与 中取到,因为
由 > 即 ，得 ，
所以当 时， > ，
当 时， ，
综上，
点击下载：湖南省岳阳县一中、湘阴县一中2015届高三12月联考 数学（理）
