台州中学2014学年第一学期第三次统练试题
高三 数学（理科）
参考公式：
柱体的体积公式 球的表面积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 球的体积公式
锥体的体积公式 其中R表示球的半径
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
台体的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积, 表示台体的高
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 , ,则 （ ）
A． B．
C． D．
2. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）
A．4 B． C． D．6
3. ＂数列 为递增数列＂的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4. 将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
5．已知函数 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
6. 下列命题正确的是（ ）
A．异面直线 不垂直，则不存在互相垂直的平面 分别过 ；
B．直线 不垂直平面 ，则 内不存在与 垂直的直线；
C．直线 与平面 平行，则过 内一点有且只有一条直线与 平行；
D．平面 垂直，则过 内一点有无数条直线与 垂直．
7．若函数 在（ ， ）上既是奇函数又是增函数，则函数 的图象是（ ）
8．在 中， 是 边上一点， ，若 是 边上一动点，且 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．设抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，若以 为直径的圆过点 ，则 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
10. 函数 ，其中 ，若动直线 与函数 的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为 ，则 的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）
11．设 ， ，且 夹角 ，则 = ．
12. 若 ，则 = ．
13．已知关于 的不等式组 所表示的平面区域的面积为4，则 的值为 ．
14．已知数列 为等差数列，首项 ，公差 ，若 成等比数列，且 ， ， ，则 ．
15.如图，已知球 是棱长为1 的正方体 的内切球，则平面 截球 的截面面积为 ．
16.已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
17. 已知点 为双曲线 上任意一点，过点 作双曲线的渐近线的平行线，分别与两渐近线交于 , 两点，若 ，则该双曲线的离心率为 .
三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤）
18．（本题满分14分）在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ．
（Ⅰ）若 ，求角 的大小；
（Ⅱ）若 ， ，求△ 面积的最小值．
19. (本小题满分14分) 已知函数 ，数列 的前 项和为 ，
点 均在函数 的图象上．
（I）求数列 的通项公式 ；
（II）令 ，证明： .
20.(本题满分15分) 如图，平面 ⊥平面 ，其中 为矩形， 为梯形， ∥ ， ， ．
(Ⅰ) 求异面直线 与 所成角的大小；
(Ⅱ) 若二面角 的平面角的余弦值为 ，求 的长．
21. (本小题满分15分) 若 是椭圆 上一点， 分别是椭圆 的左、右顶点，直线 的斜率的乘积等于 ．
（Ⅰ）求椭圆 的离心率 的值；
（Ⅱ）过椭圆 的右焦点F且斜率为1的直线交椭圆于 两点， 为坐标原点，
若 为椭圆上一点，满足 ，求实数 的值．
22．(本小题满分14分)已知 是实数，函数 ， ，若 在区间 上恒成立，则称 和 在区间 上为“ 函数”．
（Ⅰ）设 ，若 和 在区间 上为“ 函数”，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）设 且 ，若 和 在以 为端点的开区间上为“ 函数”，求 的最大值．
台州中学2014学年第一学期第三次统练答案
高三 数学（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C C C C A D D
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11． 2 12. 13．1 14． 14 15. 16. 17.
三、解答题：（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本题满分14分）（Ⅰ）由正弦定理，得 ．
∴ ．∴ （ 舍）． ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）中 可得 或 ．
又 时， ， ，即 ，矛盾．
所以 ， ，即 ．
所以 ，即当 时， 的最小值是 ．……14分
19.（1） 点 在 的图象上， ，
当 时， ；
当 时， 适合上式， ； ………………6分
（2）证明：由 ，
，又 ，
， 成立.………………14分
20.(本题满分15分) (Ⅰ) 延长AD，FE交于Q．
因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，
所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．
在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得
∠AQF＝30°．………………………5分
(Ⅱ) 方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得
DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．
过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，
所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．
在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝ ．
在直角△BAF中，由 ＝sin∠AFB＝ ，得 ＝ ，
所以GH＝ ．在直角△DGH中，DG＝ ，GH＝ ，得DH＝ ．
因为cos∠DHG＝ ＝ ，得x＝ ，所以AB＝ ．………… 15分
方法二：设AB＝x．
以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则
F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E( ，0，0)，D(－1， ，0)，B(－2，0，x)，
所以 ＝(1，－ ，0)， ＝(2，0，－x)．
因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取 ＝(0，1，0)．
设 ＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则
所以，可取 ＝( ，1， )．
因为cos< ， >＝ ＝ ，得x＝ ，所以AB＝ ．
21. (本小题满分15分)
（Ⅰ）由 ， ，
得： ， ，所以 ． …5分
（Ⅱ）由方程组 得： ， 则 ， ，
再设 ， ，即 ，
由于 为椭圆上的点，即 ，
则 ，整理得：
（＊），
由于 ， 在椭圆上，即 ， ，
又
，
所以，（＊）式可化为 ，即 ，
解得： ，或 ． …………15分
22．(本小题满分14分)
解答：（Ⅰ）因为 和 在区间 上为“ 函数”，所以
，在 上恒成立，
即 ， ∵ ∴
∴ 即 ∴ ∴ ………………4分
（2）①当 时，因为 和 在以 为端点的开区间上为“ 函数”，
所以， 在 上恒成立，即 ， 恒成立
，
∴ ∴
②当 时，因为 和 在以 为端点的开区间上为“ 函数”，所以，
即 ， 恒成立 ，
∴
③当 时，因为 和 在以 为端点的开区间上为“ 函数”，
所以，即 ， 恒成立
而 时， 不符合题意，
④当 时，由题意： ， 恒成立
∴ ∴ ∴
综上可知， ． …………………………14分
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