2014—2015学年漳州八校高三第一次联考理科数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人：
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题:（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）.
1．复数 等于
A． B． C．－1+i D．－1－i
2．命题“对任意的 ”的否定是
A． 不存在 B． 存在
C． 存在 D． 对任意的
3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A． B．
C． D．
4.设 若 的最小值为 ( )
A 8 B 4 C 1 D
5.如果执行右面的框图，输入 ，则输出的数等于( )
A B C D
6.若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题 正确的是( )
A．若m∥α，n α，则m∥n B．若m∥α，m β，α∩β=n，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，则n⊥α
7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A 14 B 15 C 16 D 17
8．为得到函数 的图象，只需将函数 的图象( )
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
9.设变量x，y满足约束条件： .则目标函数z=2x+3y的最小值为( )
A 6 B 7 C 8 D 23
10.设非空集合 满足：当 时，有 。给出如下三个命题工：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 。其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卷中的横线上）.
11.设向量a＝(cosθ，1)，b＝(1,3cosθ)，且a∥b，则cos2θ＝________.
12. 的展开式的常数项是 （用数字作答）
13．如右图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为_________ cm时，小盒子容积最大。
14．已知函数 ， ， ，实数 是函数 的一个零点．给出下列四个判断：① ；② ；③ ；④ ．其中可能成立的是____________（填序号）
15．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝2Sa＋b＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝________.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
16．（本小题满分13分）
已知向量 ，函数
（1）求函数的最小正周期T和单调递增区间
（2）已知角A,B,C所对应的边分别为 ，A为锐角， ，且 是函数在 上的最大值，求
17．(本小题满分13分)
甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：
若将频率视为概率，回答下列问题．
(Ⅰ)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；
(Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．
18.(本小题满分l3分)
设数列 满足 ，
（Ⅰ)求数列 的通项公式：
（Ⅱ）令 ，求数列 的前n项和 .
19．(本小题满分13分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1 的中点．
(I)求证：EF∥平面ACD1；
(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；
(Ⅲ)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分14分)
已知函数
（I）当 时，求函数 的图像在 处的切线方程；
（II）判断函数 的单调性；
（III）求证：
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵 ， ，矩阵 对应的变换把曲线 变为曲线C，求Ｃ的方程．
（2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 (t为参数)
①. 把直线 与曲线C的方程化为普通方程
②.求直线 与曲线C相交所成弦的弦长．
（3)（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲
①.设函数f(x)＝｜x＋1｜－｜x－4｜，解不等式f（x）＜2；
②.已知 ，且 ，求 的最小值．
．2014—2015学年漳州八校高三第一次联考理科数学答题卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
题号 一 二 16 17 18 19 20 21 总分
得分
一、 选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（每小题4分，共20分）
11、 ； 12、 ；
13、 ； 14、 。
15、 ；
三解答题：（本题共6个小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
2014—2015学年漳州八校高三第一次联考理科数学答案
一、选择题：(每小题5分，满分50分)．
1．D． 2．C． 3．D． 4． B． 5．D．6．B． 7．C． 8．A． 9．B． 10．D．
二、填空题：(每小题4分，满分20分)．
11．－13． 12．-20． 13．1． 14．．①②③ 15．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. (本小题满分13分)
(1)
…………………………4分
令 得
所以单调递增区间是 …………………………………………7分
(2)解:
因为 ，则当 时，有最大值为3
由余弦定理知 ，解得c=2………………………………………11分
则 …………………………………………………………13分
17. (本小题满分13分)
(Ⅰ)甲运动员击中10环的概率是：1一0.1—0.1—0.45=0.35.
设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，
则P(A)=0.35+0.45=0.8.
事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：
恰有1次击中9环以上，概率为p1=C •0.81•(1-0.8)2=0.096；
恰有2次击中9环以上，概率为p2=C •0.82•(1-0.8)1=0.384；
恰有3次击中9环以上，概率为p3=C •0.83•(1-0.8)0=0.512．
因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率
p= p1+ p2+ p3=0.992．…………………………………………………………………………5分
(Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，
则P(B)=1—0.1—0.15=0.75．
因为 表示2次射击击中9环以上的次数，所以 的可能取值是0，1，2.
因为P( =2)=0.8•0.75=0.6；
P( =1)=0.8•(1-0.75)+(1-0.8)•0.75=0.35；
P( =0)=(1-0.8)•(1-0.75)=0.05．……………………………………………………… 10分
所以 的分布列是
ξ 0 1 2
P 0.05 0.35 0.6
所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．………………………………………13分
18(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
。…………………………………………………………………………………4分
而
所以数列{ }的通项公式为 。……………………………………………6分
（Ⅱ）由 知
①
从而 ②
①-②得
。
即 ………………………………………………………………13分
19. (本小题满分13分)
解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、E(1，0，2 )、F(0，2，1)．
(Ⅰ)取AD1中点G，则G（1，0，1）， =（1，-2，1），又 =（-1，2，-1），由 = ，
∴ 与 共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG 平面ACD1，EF 平面ACD1，∴EF∥平面ACD1. ………………………………………………………………4分
(Ⅱ) ∵ =(0,2，0)，
cos< , >= ，
∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为 .…………………………………………………8分
(Ⅲ)假设满足条件的点P存在，可设点P(2，2，t)(0<t≤2)，平面ACP的一个法向量为 =(x，y，z)，
则 ∵ =(0，2，t), =(-2，2，0)，
∴ 取 .
易知平面ABC的一个法向量 ，
依题意知，< ， >=30°或< ， >=150°，
∴|cos< ， >|= ，
即 ，解得
∵ ，∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为 时，
二面角P-AC-B的大小为30°. ………………………………………………………………13分
20. (本小题满分14分)
解：（I）当 时， ，
(0)=3,所求得切线的斜率为3.
又 切点为 。
故所求的切线方程为 。…………………………………………………………………4分
（II）
①当 时，
②当 时，由 得 ；
由 得 。
综上，当 ，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增。…8分
（III）证法一：由（II）可知，当 时，
在 上单调递增。
当 时， ，即 。
令 则
另一方面， 即 ， .
………………………………………………………………14分
证法二：构造函数
当 时， ，
函数 在 上单调递增。
函数 ，即 。
， ，即 ，
令 ，则有 。
21．(本题满分14分)
（1）（本小题满分7分）
解： ，设 是所求曲线C上的任意一点，它是曲线 上点 在矩阵 变换下的对应点，则有 ，即 所以 又点 在曲线 上，故 ，从而 ，所求曲线C的方程为 ．……………………………………………………………………7分
（2）（本小题满分7分）
解：①.曲线C的极坐标方程 化为直角坐标方程为 ，即 .
直线 的参数方程 化为普通方程为 .………………………………4分
②.曲线C的圆心（2，0）到直线 的距离为 ，
所以直线 与曲线C相交所成的弦的弦长为 ．………………………………7分
（3）（本小题满分7分）
①∵f(x)＝|x＋1|－|x－4|＝5，x≥4，2x－3，－1＜x＜4，－5，x≤－1，
∴由f(x)＜2得x＜52.……………………………………………………………………………4分
②.解：注意到 ，且 为定值，
利用柯西不等式得到 ，
从而 ，当且仅当 时取“＝”号，
所以 的最小值为3．………………………………………………………………7分
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