岳阳县一中、湘阴县一中2015届高三12月联考
数学（文）试题
时量：150分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合 ，则 ( )
A． B． C． D．
2、若 且 ，则 是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3、已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
4、某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )
A． B．
C． D．
5、已知 是两个命题，则“ 为真命题”是“ 为真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6、已知 是周期为4的奇函数， ，则 ( )
A． B． C． D．
7、已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为( )
A． B． C． D．
8、已知数列 满足 ，且 ，其前 项和为 ，则满足不等式 的最小整数 是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
9、记曲线 与 所围成的封闭区域为 ，若直线 与 有公共点，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
10、用 表示 两数中的最小值，函数 的图象关于直线 对称，若方程 恰有4个不相等的实数根，则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.
11、若直线 与圆 相交于 两点，则弦 的长等于 .
12、在 中， ，其面积 ，则 .
13、底面半径为3 的圆柱体水槽中有半槽水，现放入两个直径等于水槽底面圆直径的球，若水槽中的水刚好满了，则水槽的高是 .
14、若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值是 .
15、已知函数 ，记 ，且 .
（1）若函数 仅有2个零点，则实数 的取值范围是 .
（2）若函数 的零点个数为 ，则满足 的所有 的值为 .
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）
已知向量 ，函数 ，且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是 ．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)将函数 图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 在区间 上的最大值和最小值．
17、（本小题满分12分）
如图，在各棱长都相等的直三棱柱 中， 分别为 的中点.
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18、（本小题满分12分）
山区一林场2013年底的木材存量为30万立方米，森林以每年20﹪的增长率生长.从今年起每年年底要砍伐1万立方米的木材，设从今年起的第 年底的木材存量为 万立方米.
(Ⅰ)试写出 与 的关系式，并证明数列 是等比数列；
(Ⅱ)问大约经过多少年，林场的木材总存量达到125万立方米？
（参考数据： ）
19、（本小题满分13分）
已知函数 .
(Ⅰ)解不等式 ；
(Ⅱ)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
20、（本小题满分13分）
各项均为正数的数列 ，其前 项和为 ，且满足 ， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)若数列 前 项和为 ,且满足 .
问 为何值时，数列 为等差数列；
(Ⅲ) 求证： .
21、（本小题满分13分）
设函数 .
(Ⅰ)求函数 的单调区间；
(Ⅱ)判断函数 在区间 上的零点个数.
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合 ，则 ( B )
A． B． C． D．
2、若 且 ，则 是( C )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3、已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 ( C )
A．4 B．6 C．8 D．10
4、某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( A )
A． B．
C． D．
5、已知 是两个命题，则“ 为真命题”是“ 为真命题”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6、已知 是周期为4的奇函数， ，则 ( D )
A． B． C． D．
7、已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为( A )
A． B． C． D．
8、已知数列 满足 ，且 ，其前 项和为 ，则满足不等式 的最小整数 是( C )
A．11 B．12 C．13 D．14
9、记曲线 与 所围成的封闭区域为 ，若直线 与 有公共点，则实数 的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
10、用 表示 两数中的最小值，函数 的图象关于直线 对称，若方程 恰有4个不相等的实数根，则实数 的取值范围为( D )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.
11、若直线 与圆 相交于 两点，则弦 的长等于 .
12、在 中， ，其面积 ，则 .
13、底面半径为3 的圆柱体水槽中有半槽水，现放入两个直径等于水槽底面圆直径的球，若水槽中的水刚好满了，则水槽的高是 .16
14、若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值是 .
15、已知函数 ，记 ，且 .
（1）若函数 仅有2个零点，则实数 的取值范围是 .
（2）若函数 的零点个数为 ，则满足 的所有 的值为 .2,3,4
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）
已知向量 ，函数 ，且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是 ．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)将函数 图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 在区间 上的最大值和最小值．
解：(Ⅰ)由题 …3分
又 的周期
所以 ，即 ………………………………………………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得
又由题意得 ………………………………………8分
因为 ，所以
当 即 时，
当 即 时， ………………………………12分
17、（本小题满分12分）
如图，在各棱长都相等的直三棱柱 中， 分别为 的中点.
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
证明：(Ⅰ)如图示，连接 交 于 点，连接
由题 是 的中位线
∴ 且
即 且
∴四边形 为平行四边形
∴
又 平面 ， 平面
∴ 平面 …………………6分
解：（Ⅱ）∵直三棱柱 各棱长都相等， 为 的中点
∴
∴ 平面 ，又 平面 ∴
由(Ⅰ) 得
又 ， 是平面 内两条相交直线
∴ 平面
∴ 是 在平面 上的射影
∴ 是 与平面 所成的角 ……………………………9分
设直三棱柱 的棱长为
在 中，
∴
∴直线 与平面 所成角的正弦值是 ……………………12分
18、（本小题满分12分）
山区一林场2013年底的木材存量为30万立方米，森林以每年20﹪的增长率生长.从今年起每年年底要砍伐1万立方米的木材，设从今年起的第 年底的木材存量为 万立方米.
(Ⅰ)试写出 与 的关系式，并证明数列 是等比数列；
(Ⅱ)问大约经过多少年，林场的木材总存量达到125万立方米？
（参考数据： ）
解：(Ⅰ)由题得
即 ……………………………………………………2分
所以
因此数列 是公比为 的等比数列 …………………………6分
(Ⅱ)由题
所以 ，即 …………………………8分
所以 ，即
所以
所以，大约经过9年，林场的木材总存量达到125万立方米 …………12分
19、（本小题满分13分）
已知函数 .
(Ⅰ)解不等式 ；
(Ⅱ)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
解：(Ⅰ)当 时
由 得
所以 …………………………………………………2分
当 时
由 得
所以 …………………………………………………4分
综上，原不等式的解集是 ……………………………5分
(Ⅱ) 由题意得 即 在 上恒成立
(ⅰ)当 时， 恒成立，所以 ………………6分
(ⅱ) 当 时，原不等式变形为
设
因为当 时，
所以 在 上单调递减
当 时，
所以 ……………………………………………………………9分
(ⅲ) 当 时，原不等式变形为
又
当 时，
所以 …………………………………………………12分
综上所述，实数 的取值范围是 ………………………13分
20、（本小题满分13分）
各项均为正数的数列 ，其前 项和为 ，且满足 ， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)若数列 前 项和为 ,且满足 .
问 为何值时，数列 为等差数列；
(Ⅲ) 求证： .
解：(Ⅰ)由题 ①
得 ②
② ①得
即 …………………………2分
因为 ，所以
又 时， 即
又 ，
所以 ………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)及题意得
即
所以数列 是以 为首项，以1为公差的等差数列 ………6分
所以
即
若数列 为等差数列，则 ，即
所以 .(此时 ) ……………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)及题意得
………11分
所以
即 ……………………13分
21、（本小题满分13分）
设函数 .
(Ⅰ)求函数 的单调性；
(Ⅱ)判断函数 在区间 上的零点个数.
解：(Ⅰ)由题得 ………………2分
当 时， ；当 时，
所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数 在 上单调递增，在 上单调递减
所以函数 在区间 上最多有2个零点
而且 ， …………………6分
(ⅰ)若函数 在区间 上有2个零点
则 ，此不等式组无解
所以不存在 ，使函数 在区间 上有2个零点 ………8分
(ⅱ) 若函数 在区间 上仅有1个零点
则 ，解得
所以当 时，函数 在区间 上仅有1个零点 ………10分
(ⅲ) 若函数 在区间 上无零点
结合(ⅱ)知 ，即
则 ，解得
所以当 时，函数 在区间 上无零点 …………………12分
综上所述，当 时，函数 在区间 上有1个零点
当 时，函数 在区间 上无零点 ……………13分
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