方城县第一高级中学2015届高三12月月考
数学（理）试题
一 、选择题（每题5分，共60分）
1．集合A={1，2}，B=｛1，2，3｝，P={ ， A， B}，则集合P的元素的个数为（ ）
A．3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 设随机变量ξ服从正态分布 ，若 = ，则c的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 函数 是奇函数的充要条件是（ ）
A. B. C. D
5. 设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ）
A．ln2 B. 0 C. ln3 D. 1
6. 某同学有相同的名信片2张，同样的小饰品3件，从中取出4样送给4位朋友，每位朋友1样，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B. 10种 C. 18种 D. 20种
7. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数
① ② ③ ④
则输出的函数的个数为（ ）
A． 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8若 是 的重心， 分别是角 的对边，若
，则角 （ ）
A. B. C. D.
9. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为 ，则该几何体的俯视图可以是（ ）
10. 对于函数 ，( 是实常数),下列结论正确的一个是（ ）
A. 时, 有极大值，且极大值点
B. 时, 有极小值，且极小值点
C. 时, 有极小值，且极小值点
D. 时, 有极大值，且极大值点
11. 已知函数 ，当 ，若 时，则有（ ）
A. B.
C. D.
12. 在平面斜坐标系 中，x轴方向水平向右， 轴指向左上方，且∠xoy=23. 平面上任一点P关于斜坐标是这样定义的：若→OP= （其中向量 分别为 轴、 轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为 .那么以O为顶点，F(1,0)为焦点，x轴为对称轴的抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知△ 的角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ，则 __________.
14. 在区间 和 分别取一个数，记为x、y，则 的概率为 。
15．设 是函数 的导函数，且 ．现给出以下四个命题：
①若 是奇函数，则 必是偶函数； ②若 是偶函数，则 必是奇函数；
③若 是周期函数，则 必是周期函数；④若 是单调函数，则 必是单调函数．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
16. 已知 ， 是经过原点且与 图像恰有两个交点的直线，这两个交点的横坐标分别为 ， （0< < ），那么下列结论中正确的有______.
① 的解集为[ ，
② 在（0， ）上单调递减
③
④当 时， 取得最小值
三、解答题（共70分）
17.(本小题满分12分）
已知正项数列 , 若对于任意正整数p、q均有 成立.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 求数列 的前n项和 .
18. （本小题满分12分）
某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分。上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示。
（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；
（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品。
①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；
②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望。
19．(本小题满分12分)
如图，三棱柱 的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1= ， 为 的中点．
（I）求证：MC⊥AB；
（II）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，
确定点 的位置；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若点 为 的中点，求二面角 的余弦值．
20．（本大题满分12分）
已知椭圆 ，过点A（- ，0），B（0， ）的直线的倾斜角为 ，原点到该直线的距离为 ，
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数 ，直线 交椭圆于Q，P两点，以PQ为直径的圆过点
D（-1，0），若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
21．（本大题满分12分）
设函数
（1）求曲线 在点（0， ）处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若函数 在区间（-1，1）内单调递增，求 的取值范围
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B，C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q。
（Ⅰ）求证：AC2=CQ•AB；
（Ⅱ）若AQ=2AP，AB= ，BP=2，求QD。
23. (本小题满分10分)选修4一4坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆O 和直线 .
(I)求圆O和直线 的直角坐标方程；
(II)求直线 与圆O的公共点的极坐标 .
24. (本小题满分10分) 选修4―5不等式选讲
已知函数 .
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若不等式 ≤0的解集为 ，求 的值.
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