沈阳二中2015届高三上学期12月月考
数学（文）试题
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）
1．已知 是实数集，集合 , ,则 ( )
2，通过随机询问110性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由 ,算得 附表:
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参照附表,得到的正确结论是 （ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
3．已知 ， ，则 （ ）
A. B. 或 C. D.
4.已知两个不同的平面 和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：
①若 ； ②若 ；
③若 ； ④若 .
其中正确命题的个数是 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题
B．命题“存在 ， ”的否定是：“任意 ， ”
C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
6.点 在直线 上移动，则 的最小值是（ ）
A.8 B. 6 C. D.
7．直线l： 与曲线 相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
9．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解,则a的取值为( ) （ ）
A． B． C. D．
10.已知向量 的夹角为 时取得最小值，当 时，夹角 的取值范围为
A. B. C. D.
11．已知函数 的周期为4，且当 时， 其中 ．若方程 恰有5个实数解，则 的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
12.函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 （ ）
A． B. C． D．
第Ⅱ卷 （90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13.已知F是抛物线 的焦点,A,B为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点M到y轴的距离为 ________
14．在数列 中， 记 是数列 的前n项和，则
15.已知正三棱锥 ,点 都在半径为 的球面上,若 两两相互垂直,则球心到截面 的距离为_____________.
16．在 中， 的内心，若
，则动点 的轨迹所覆盖的面积为 .
三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 ，且 ..
（I）求 的值；
（II）若 面积的最大值.
18. （本小题满分12分）
从某学校的 名男生中随机抽取 名测量身高,被测学生身高全部介于 cm和 cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[ , ),第二组[ , ),,第八组[ , ],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 人.
(Ⅰ)求第七组的频率;
(Ⅱ)估计该校的 名男生的身高的中位数以及身高在 cm以上(含 cm)的人数;
(Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为 ,事件 { },事件 { },求 .
19. （本小题满分12分）
如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面, E、F分别是AB、PD的中点.
(1)求证:AF//平面PCE;
(2)求证:平面 平面PCD;
(3)求四面体PEFC的体积.
20.（本小题满分12分）
设数列 的各项都是正数，且对任意 ，都有 ，其中 为数列 的前n项和.
（I）求数列 的通项公式；
（II）设 （ 为非零整数， ），试确定 的值，使得对任意 ；都有 成立.
21. （本小题满分12分）
已知中心在坐标原点,焦点在 轴上的椭圆过点 ,且它的离心率 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)与圆 相切的直线 交椭圆于 两点,若椭圆上一点 满足 ,求实数 的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知 ，函数
（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）当x [0，2]时，求|f(x)|的最大值．
参考答案
一.选择题: D C C D B C B A D C B A
二.填空题: 13. 14.1300 15. 16.
17．
18．解：(Ⅰ)第六组的频率为 ,所以第七组的频率为 ; ……3分
(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 , 身高在第二组[160,165)的频率为 , 身高在第三组[165,170)的频率为 , 身高在第四组[170,175)的频率为 , 由于 , 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为 ,则 由 得 所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为 由直方图得后三组频率为 , 所以身高在180cm以上(含180cm)的人数为 人 ………7分
(Ⅲ)第六组 的人数为4人,设为 ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为 ,则有 共15种情况, 因事件 { }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 包含的基本事件为 共7种情况,故 由于 ,所以事件 { }是不可能事件, 由于事件 和事件 是互斥事件,所以 …………12分
19．解：
20. 解：（Ⅰ）∵ 时， ，……………①
当 时， ，………………②………………2分
由①－②得，
即 ，∵ ∴ ，………………4分
由已知得，当 时， ，∴ .………………５分
故数列 是首项为1，公差为1的等差数列.∴ . …………６分
（Ⅱ）∵ ，∴ ,…………7分
∴ .
要使得 恒成立,只须 . …………８分
(1)当 为奇数时,即 恒成立.又 的最小值为 ,∴ . ……9分
(2)当 为偶数时,即 恒成立.又 的最大值为 ,∴ …１０分
∴由(1),(2)得 ,又 且 为整数,……………………１１分
∴ 对所有的 ,都有 成立. ………………１２分
21.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为 ┈┈┈┈┈┈┈ 由已知得: 解得 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 所以椭圆的标准方程为: ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ (Ⅱ) 因为直线 : 与圆 相切 所以, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 把 代入 并整理得: ┈7分 设 ,则有 ┈┈┈┈┈┈┈┈ 因为, , 所以, ┈┈9 又因为点 在椭圆上, 所以, ┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈┈ 因为 所以 ┈┈┈┈┈ 11 所以 ,所以 的取值范围为 ┈┈┈┈ 12
22．解
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