福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考试卷数学（文）
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合 ，则 = （ ）
A． B． C. D.
2．已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3. 已知 为虚数单位, 则复数 ）在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列函数中, 在区间 上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.如果直线 与直线 互相垂直，那么 =（ ）
A.1 B. C. D.
6. 为了得到函数 的图象，则只要将 的图像（ ）
A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
7．设向量 , 满足 ， ，则 =( )
A.1 B.2 C.3 D.5
8．中心在坐标原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为( )
A . B. C . D.
9．程序框图如右图所示，则输出 的值为( )
A．15 B．21 C．22 D．28
10．函数 的图像恒过定点 ，若点 在直线 上，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
11．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
12.已知定义在R上的函数 的图象关于点 成中心对称图形，且满足 ， , ，则 的值为( )
A.1 B.2 C. 0 D.-2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置.
13.设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.
14．已知函数 则 的值是
15． 是抛物线 上一点，抛物线的焦点为 ，且 ，则 点的纵坐标为________．
16. 若直线 与曲线 满足下列两个条件： 直线 在点 处与曲线 相切； 曲线 在点 附近位于直线 的两侧，则称直线 在点 处“切过”曲线 . 下列命题正确的是__ ____(写出所有正确命题的编号)
①直线 在点 处“切过”曲线 ：
②直线 在点 处“切过”曲线 ：
③直线 在点 处“切过”曲线 ：
④直线 在点 处“切过”曲线 ：
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
在 中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，且 , .
(Ⅰ)求边 的长度；
(Ⅱ)求 的值.
18（本小题满分12分）
已知数列 中， ，且点 在函数 的图象上 ,数列 是各项都为正数的等比数列，且 .
（Ⅰ）求数列 , 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，记数列 的前n项和为 ,求 的值.
19．（本小题满分12分）
根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
社团 街舞 围棋 武术
人数 320 240 200
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，已知从“街舞”社团抽取的同学8人。
(I) 求 的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数；
(II)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知 “围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中， 为矩形，平面 平面 ．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若 ，问当 为何值时，四棱锥 的体积最大？并求其最大体积.
21. (本小题满分12分)
已知椭圆 ： （ ）的长半轴长为2，离心率为 ，左右焦点分别为 ， ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，与以 ， 为直径的圆交于 ， 两点，且满足 ，求直线 的方程．
22．（本小题满分14分）
已知函数 ，其中常数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 的极值点；
（Ⅱ）证明：对任意 恒成立；
（III）对于函数 图象上的不同两点 ，如果在函数 图象上存在点 （其中 ）,使得在点M处的切线 ∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当 ，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．
试问：当 时，对于函数 图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”,并证明你的结论．
“四地六校联考”2014-2015学年上学期第三次月考
高三数学（文）参考答案
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B A D C A D B B C A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13. 24 14. 15 .4 16 ①③
17. (本小题满分12分)
（Ⅰ）由余弦定理，得 .又 , ，
. ………2分
………4分
（Ⅱ）在△ABC中， ，……………………………6分
由正弦定理，得 .………………………………8分
因a=b>c，所以C为锐角，因此 ……………10分
于是 . …………………12分
18. (本小题满分12分)
解：(1) 因点 在直线y=x+1的图象上， ，即
数列{an}是以1为首项，1为公比的等比数列.
故数列 的通项公式为 …………………………………………4分
数列{bn}为等比数列，设公比为q，
∵ ，b4＝b1q3＝8，
∴ ,q＝2.∴bn＝2n－1(n∈N*)．…………………………………8分
（Ⅱ） , ……12分
19．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ） …………………………………2分
从“围棋”社团抽取的同学 …………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，
其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F ………5分
则从这6位同学中任选2人，不同的结果有
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，
共15种． ……………………………………8分
法1：其中含有1名女生的选法为
{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，
{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
共8种；
含有2名女生的选法只有{A，B}1种． 至少有1名女同学共9种 ……………………10分
故至少有1名女同学被选中的概率 = ． ………………… ……12分
法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，
{E，F}，共6种
故至少有1名女同学被选中的概率1- = ．
20.(本小题满分12分)
解：（1） 面 面 ,面 面 = ,
面 ……………………………………4分
又 面 ……………………………………5分
……………………………………6分
（2）取 中点，连结 ,
,由（1）有 面ABCD, ………………8分
设AD= .
…………………10分 ……………………11分
当 即 时， ………………………………12分
21. (本小题满分12分)
（Ⅰ）由题设知 ……………………2分
解得
∴ 椭圆的方程为 ．……………………4分
（Ⅱ）由题设，以 为直径的圆的方程为 ，……………………5分
∴ 圆心的直线 的距离 ，由 得 ．（*）……………………6分
∴ ．……………………7分
设 由 ，得 ，……………………8分
由求根公式可得 ．……………………9分
∴ ．……………………10分
由 得 ， 解得 ，满足（*）．……………11分
∴ 直线 的方程为 或 ．…………………12分
22. (本小题满分14分) （Ⅰ）当 时，
…1分，
时
当 或 时 ，即 在 上单调递增……2分，
当 时， ， 在 上单调递减 ……3分，
为函数 的极大值点， 为函数 的极小值点 ………………4分
（Ⅱ）令 …6分
所以 在 上递增, （当且仅当x=1时等号成立），
即证： 对任意 恒成立； ……………8分
（III）当 ， ， ，假设函数 存在“中值伴侣切线”.
设A , 是曲线 上的不同点，且 ，
则直线AB的斜率： ……9分
曲线在点 处的切线斜率： ……10分
依题意： ,即 化简得 ，…11分
即 设 ，上式化为 , …………12分
由（2）知 时， 恒成立.所以在 内不存在 ,使得 成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数 不存在“中值伴侣切线” ………………14分
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