成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 ，集合 ，则
（A） （B）
（C） （D）
2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是
（A） （B） （C） （D）
3．已知复数 （ 是虚数单位），则下列说法正确的是
（A）复数 的虚部为 （B）复数 的虚部为
（C）复数 的共轭复数为 （D）复数 的模为
4．函数 的图象大致为
（A） （B） （C） （D）
5．已知命题 ：“若 ，则 ”，则下列说法正确的是
（A）命题 的逆命题是“若 ，则 ”
（B）命题 的逆命题是“若 ，则 ”
（C）命题 的否命题是“若 ，则 ”
（D）命题 的否命题是“若 ，则 ”
6．若关于 的方程 在区间 上有实数根，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
7．已知 是椭圆 （ ）的左焦点， 为右顶点， 是椭圆上一点， 轴.若 ，则该椭圆的离心率是
（A） （B） （C） （D）
8．已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ，则下列叙述正确的是
（A）若 ，则 （B）若 ，则
（C）若 ，则 （D）若 ，则
9．若 ， ，且 ， ，则 的值是
（A） （B） （C） 或 （D） 或
10．如图，已知正方体 棱长为4，点 在棱 上，且 ．在侧面 内作边长为1的正方形 ， 是侧面 内一动点，且点 到平面 距离等于线段 的长.则当点 运动时， 的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．若非零向量 ， 满足 ，则 ， 的夹角的大小为__________．
12．二项式 的展开式中含 的项的系数是__________．（用数字作答）
13．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 的面积 __________．
14．已知定义在R上的奇函数 ，当 时， ．若关于 的不等式 的解集为 ，函数 在 上的值域为 ，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是__________．
15．已知曲线 ： 在点 （ ）处的切线 的斜率为 ，直线 交 轴， 轴分别于点 ， ，且 ．给出以下结论：
① ；
②当 时， 的最小值为 ；
③当 时， ；
④当 时，记数列 的前 项和为 ，则 ．
其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．
（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；
（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ．
17．（本小题满分12分）
如图， 为正三角形， 平面 ， ， 为 的中点， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
18．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ；数列 满足 ， . ．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）记 ， ．求数列 的前 项和 ．
19．（本小题满分12分）
某大型企业一天中不同时刻的用电量 （单位：万千瓦时）关于时间 （ ，单位：小时）的函数 近似地满足 ，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量 与时间 的大致图象．
（Ⅰ）根据图象，求 ， ， ， 的值；
（Ⅱ）若某日的供电量 （万千瓦时）与时间 （小时）近似满足函数关系式 （ ）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）.
参考数据:
（时）
10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875
（万千瓦时）
2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493
（万千瓦时）
5 3.5 2 2.75 3.125 2.375 2.563 2.469
20．（本小题满分13分）
已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 的距离之和为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，且 ．若点 满足 ，求 的值．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ， ，其中 且 ． 为自然对数的底数．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间和极小值；
（Ⅱ）当 时，若函数 存在 三个零点，且 ，试证明：
；
（Ⅲ）是否存在负数 ，对 ， ，都有 成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
数学（理科）参考答案及评分意见
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．A； 2．C； 3．D；4．A；5．C；6．B；7．B；8．D；9．A；10．B．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11． 12． 13． 14. 15．①③④
三、解答题：（本大题共6个小题,共75分）
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A，则
．……………………………………………………………4分
（Ⅱ） 的可能取值为 ，则
……………………………………………………………2分
………………………………………………………2分
………………………………………………………………2分
∴ 的分布列为
∴ 的数学期望 ．…………………………………2分
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：作 的中点 ，连结 ．
在 中， ，又据题意知， ．
∴ ，∴四边形 为平行四边形．
∴ ，又 平面 ， 平面 ．
∴ 平面 ．……………………………………4分
（Ⅱ）∵ ，∴ 平面 ．
在正 中， ，∴ 三线两两垂直．
分别以 为 轴，建系如图．
则 ， ， ．
∴ ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ．
∴平面 的一个法向量为 ．
又平面 的一个法向量为 ．
∴ ．
∴平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 ．…………………………8分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
当 时，
得， ，即 （ ）．
又当 时， ，得 ．
∴数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
∴数列 的通项公式为 ．………………………………………4分
又由题意知， ， ，即
∴数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴数列 的通项公式为 ．……………………………2分
（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ………………………………………………1分
∴
④
由 ④得
…………………1分
∴ …………………………………………………1分
∴ 即
∴
∴数列 的前 项和 ………………………………………3分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由图知 ， ．………………………………………………………1分
， ．……………2分
∴ ．
又函数 过点 ．
代入，得 ，又 ，∴ ．…………………………………2分
综上， ， ， ， ． ………………………………………1分
即 ．
（Ⅱ）令 ，设 ，则 为该企业的停产时间．
由 ， ，则 ．
又 ，则 ．
又 ，则 ．
又 ，则 ．
又 ，则 ．…4分
∵ ． ……………………………………………1分
∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分
（也可直接由 ， ，得出 ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）
20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）由已知 得 ，又 ．
∴ ．
∴椭圆 的方程为 ．…………………………………………………4分
（Ⅱ）由 得 ① ………………………1分
∵直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，∴△ ，
得 ．
设 ， ，则 ， 是方程①的两根，
则 ， ．
∴ ．
又由 ，得 ，解之 ．……………………………3分
据题意知，点 为线段 的中垂线与直线 的交点．
设 的中点为 ，则 ， ，
当 时，
∴此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ．
令 ，得 ．…………………………………………………………………2分
当 时，
∴此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ．
令 ，得 ．………………………………………………………………2分
综上所述， 的值为 或 ．
21.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） （ 且 ）．
∴由 ，得 ；由 ，得 ，且 ．……………………1分
∴函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．………………2分
∴ .………………………………………………………………1分
（Ⅱ） ．
∴ 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增．
∵函数 存在三个零点．
∴ ．
∴ …………………………………………………………………………………3分
由 ．
∴ ．……………………………………………………1分
综上可知， ，
结合函数 单调性及 可得： ．
即 ，得证．…………………………………………………………1分
（III）由题意，只需
∵
由 ，∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ ．………………………………………………………………2分
∵
由 ，∴函数 在 上单调递增， 上单调递减．
∴ ．……………………………………………………………2分
∴ ，不等式两边同乘以负数 ，得 ．
∴ ，即 ．
由 ，解得 ．
综上所述，存在这样的负数 满足题意．……………………………1分
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