绵阳市重点高中2015届高三上学期第五次月考 数学理
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U={1，2 ，3 ，4，5}，集合 则集合 中的元素的个数为 （ ）1B
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.已知 ( )2 C
A.1+2i B. 1-2i C.2+i D.2- i
3．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l α，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题个数是 （ ）3选B．
A．1 B．2 C．3 D．4
4、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果是 4 B
（A）
（B）
（C）
（D）
5．在△OAB中， ，若 ，则 ( ) 5 D
A． B． C． D．
6．已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和 的距离之和的最小值为 （ ）6。D
A． B． C． D．
7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为 值域为{9}的“孪生函数”三个：
（1） ； （2） ；
（3）
那么函数解析式为 值域为{1，5}的“孪生函数”共有 （ ）
7 B
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8.已知变量x，y满足 的值范围是 8 A
9.函数 是定义在 上的偶函数，且满足 .当 时， .若在区间 上方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是9 A
（A） (B) (C) (D)
10. 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C
地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离
比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上
选一处M建一座码头，向B、C两地转运
货物.经测算，从M到B、M到C修建公
路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，
那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．(2 －2)a万元 B．5a万元
C．(2 +1) a万元 D．(2 +3) a万元
10．B 依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2－y23＝1，点C的坐标为（3，3）.则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[12|MB|+|MC|],设点M、C在右准线上射影分别为点M1 、C1 ，根据双曲线的定义有|M M1|=12|MB|，所以=2a[|M M1|+|MC|]≥2a|C C1|=2a×（3-12）=5a.当且仅当点M在线段C C1上时取等号，故ω的最小值是5a.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11． 已知命题p：f(x)＝1－2mx在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式(x－1)2>m的解集为R.若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．
11．0≤m<12 [解析] 由f(x)＝1－2mx在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，即m<12，由不等式(x－1)2>m的解集为R，得m<0.要保证命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m<12
12.已知函数 （ >0, ）的图象如右图所示，则
= .
12．
13. 已知 的展开式中 的系数与 的展开式中 的系数相等，则 ＝_____________．
13. 由二项式定理知: 的展开式中 的系数为 C35• , 的展开式中 的系数为C14•54,于是有C35• = C14•54,解得 =12.
14.已知函数 在 上恒正，则实数 的取值范围是
14、
15.方程 的曲线即为函数 的图像，对于函数 ，有如下结论：① 在R上单调递减；②函数 不存在零点；③函数 的值域是R；④若函数 和 的图像关于原点对称，则函数 的图像就是方程 确定的曲线. 其中所有正确的命题序号是 .
15 ①②③
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16． (本小题满分12分)在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a,b,c，其中c=10，且
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积。
16． (本小题满分12分)
（1）证明：根据正弦定理得，
整理为：
因为0<A< ,0<B< ,所以0<2A<2 ,0<2B<2 ,
所以A=B，或者A+B= 3分
由于
故△ABC是直角三角形。 5分
（2）由（1）可得：a=6,b=8.
在Rt△ABC中，
8分
连结PB，在Rt△APB中，AP=AB•cos∠PAB=5。
所以四边形ABCP的面积S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC¬
=
10分
17(本小题满分12分)
在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ；
（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； （2）设在该次比赛中，甲队得分为 的分布列和数学期望。
17(本小题满分12分)
（1）设用队获第一且丙队获第二为事件A，则
………………………………………（6分）
（2） 可能的取值为0，3，6；则
甲两场皆输：
甲两场只胜一场：
甲两场皆胜：
的分布列为
…………………………（12分）
18．（本题满分12分）
如图，已知 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱 的中点， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求直线 到平面 的距离；
（3）求二面角 的正切值．
18．(本小题满分12分)
解：(1)证明:连结C1E,则C1EA1B1,
又∵A1B1C1C,∴A1B1平面EDC1,∴A1B¬1DE,
而A1B1//AB,∴ABDE.
(2)取AB中点为F,连结EF,DF,则EFAB,∴ABDF.
过E作直线EHDF于H点,则EH平面DAB,∴EH就是直线A1B1到平面DAB的距离. 在矩形C1EFC中,∵AA1=AB=2,∴EF=2,C1E=3,DF=2,
∴在△DEF中,EH=3,
故直线A1B1到平面DAB的距离为3.
(3)过A作AMBC于M点,则AM平面CDB,
过M作MNBD于N点,连结AN,则ANBD,∴∠ANM即为所求二面角的平面角,
在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M为BC中点,∴MN=55,
在Rt△AMN中,tan∠ANM=AMMN=15
19．已知函数 在（0，+∞）上的最小值是 （n∈N+））．
（1）．求数列｛ ｝的通项公式．
（2）．证明： < ．
（3）．在点列 …….中是否存在两点Ai ,Aj 其中i, j∈N+ ．，使直线AiAj的斜率为1，若存在，求出所有数对i, j ．，若不存在，说明理由．
19解：（1）．由f (x)=2n －x，得 = ……………1分．
令 =0，得x= ……………………2分．
当x∈(0 , )．时， <0．当x∈ ( ,+∞)时， >0．
∴f (x )在0，+∞．上有极小值f ( ) = ．
∴数列｛an｝的通项公式an= …………………………………5分．
（2）．∵ ………………………6分．．
∴ =
………………8分．
（3）．依题意，设Ai2i , ai．，Aj2j , aj．其中i, j∈N+ ．是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k=
……………………9分．
=1……………………11分．
∴不存在这样的点列，使直线AiAj的斜率为1……………………12分．．
20．（本小题满分13分）如图，设F是椭圆 的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知
（1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN； （3）（理科）求三角形ABF面积的最大值。
20．(本小题满分13分)
解（1）
………………………………（文6分，理4分）（2）（2）当AB的斜率为0时，显然 满足题意
当AB的斜率不为0时，设 ，AB方程为 代入椭圆方程
整理得
则
综上可知：恒有 .………………………………（文13分，理9分）
（3）（理科）
当且仅当 （此时适合△＞0的条件）取得等号.
三角形ABF面积的最大值是 ………………………………（理13分）
21．(本小题共l4分)
已知函数f(x)= x + , h(x)= ．
(I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值；
(Ⅱ)设a∈R，解关于x的方程log4 [ ]=1og2 h(a-x)一log2h (4-x)；
(Ⅲ)试比较 与 的大小.
21、解：（Ⅰ）由 （ ）知， ，令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
故当 时， 是减函数； 时， 是增函数．
函数 在 处有得极小值 ．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为 ，
即为 ，且
①当 时， ，则 ，即 ，
，此时 ，∵ ，
此时方程仅有一解 ．
②当 时， ，由 ，得 ， ，
若 ，则 ，方程有两解 ；
若 时，则 ，方程有一解 ；
若 或 ，原方程无解．
方法二：原方程可化为 ，
即 ，
①当 时，原方程有一解 ；
②当 时，原方程有二解 ；
③当 时，原方程有一解 ；
④当 或 时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得 ．
设数列 的前n项和为 ，且 （ ）
从而 ，当 时， ．
又
．
即对任意 时，有 ，又因为 ，所以 ．
故 ．
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