绵阳市重点高中2015届高三上学期第五次月考 数学(文)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U={1，2 ，3 ，4，5}，集合 则集合 中的元素的个数为 （ ）1B
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.已知 ( )2 C
A.1+2i B. 1-2i C.2+i D.2- i
3．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l α，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题个数是 （ ）3选B．
A．1 B．2 C．3 D．4
4、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果是 4 B
（A）
（B）
（C）
（D）
5．在△OAB中， ，若 ，则 ( ) 5 D
A． B． C． D．
6．【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文】设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 ＝( )
A.1 B.－1 C. 2 D.
.
7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为 值域为{9}的“孪生函数”三个：
（1） ； （2） ；
（3）
那么函数解析式为 值域为{1，5}的“孪生函数”共有 （ ）
7 B
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8.已知变量x，y满足 的值范围是 8 A
9.函数 是定义在 上的偶函数，且满足 .当 时， .若在区间 上方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是9 A
（A） (B) (C) (D)
10. 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C
地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离
比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上
选一处M建一座码头，向B、C两地转运
货物.经测算，从M到B、M到C修建公
路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，
那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．(2 －2)a万元 B．5a万元
C．(2 +1) a万元 D．(2 +3) a万元
10．B 依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2－y23＝1，点C的坐标为（3，3）.则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[12|MB|+|MC|],设点M、C在右准线上射影分别为点M1 、C1 ，根据双曲线的定义有|M M1|=12|MB|，所以=2a[|M M1|+|MC|]≥2a|C C1|=2a×（3-12）=5a.当且仅当点M在线段C C1上时取等号，故ω的最小值是5a.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11.抛物线 的准线方程是 .
11。
12.已知函数 （ >0, ）的图象如右图所示，则
= .
12．
13.已知抛物线 经过圆 的圆心，则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为 ．
14.已知函数 在 上恒正，则实数 的取值范围是
14、
15.方程 的曲线即为函数 的图像，对于函数 ，有如下结论：① 在R上单调递减；②函数 不存在零点；③函数 的值域是R；④若函数 和 的图像关于原点对称，则函数 的图像就是方程 确定的曲线. 其中所有正确的命题序号是 .
15 ①②③
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16． (本小题满分12分)在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a,b,c，其中c=10，且
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积。
16． (本小题满分12分)
（1）证明：根据正弦定理得，
整理为：
因为0<A< ,0<B< ,所以0<2A<2 ,0<2B<2 ,
所以A=B，或者A+B= 3分
由于
故△ABC是直角三角形。 5分
（2）由（1）可得：a=6,b=8.
在Rt△ABC中，
8分
连结PB，在Rt△APB中，AP=AB•cos∠PAB=5。
所以四边形ABCP的面积S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC¬
=
10分
17(本小题满分12分)
某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组 ；第二组 ，……，第五组 ．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（II）设 、 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知 ，求事件“ ”的概率.
18．（本题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为 的中点。
（1）若 ，求证：平面 平面 ；
（2）点 在线段 上， ，试确定 的值，使 平面 ；
19．已知函数 在（0，+∞）上的最小值是 （n∈N+））．
（1）．求数列｛ ｝的通项公式．
（2）．证明： < ．
（3）．在点列 …….中是否存在两点Ai ,Aj 其中i, j∈N+ ．，使直线AiAj的斜率为1，若存在，求出所有数对i, j ．，若不存在，说明理由．
19解：（1）．由f (x)=2n －x，得 = ……………1分．
令 =0，得x= ……………………2分．
当x∈(0 , )．时， <0．当x∈ ( ,+∞)时， >0．
∴f (x )在0，+∞．上有极小值f ( ) = ．
∴数列｛an｝的通项公式an= …………………………………5分．
（2）．∵ ………………………6分．．
∴ =
………………8分．
（3）．依题意，设Ai2i , ai．，Aj2j , aj．其中i, j∈N+ ．是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k=
……………………9分．
=1……………………11分．
∴不存在这样的点列，使直线AiAj的斜率为1……………………12分．．
20．（本小题满分13分）设F是椭圆 的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知
（1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN； （3）求三角形ABF面积的最大值。
20．(本小题满分13分)
解（1）
………………………………（分）（2）（2）当AB的斜率为0时，显然 满足题意
当AB的斜率不为0时，设 ，AB方程为 代入椭圆方程
整理得
则
综上可知：恒有 .………………………………（9分）
（3）（理科）
当且仅当 （此时适合△＞0的条件）取得等号.
三角形ABF面积的最大值是 ………………………………（13分）
21．(本小题共l4分)
已知函数 ，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有 ，求实数a的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．
解答： 解：（1）当a=1时，g（x）= x3+2x2﹣ 2x，g′（x）=x2+4x﹣2 …（1分）
由g′（x）＜0解得﹣2﹣ ＜x＜﹣2+ …（2分）
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （﹣2﹣ ，2+ ）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=x2+4x﹣2
依题意知 =a（ ）2+4× ﹣2﹣
=﹣ （x1﹣x2 ）2＜0 …（5分）
因为x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax2+4x﹣2=a（x+ ）2﹣2﹣ ，a＞0．
显然f（0）=﹣2，由（2）知抛物线的对称轴x=﹣ ＜0 …（7分）
①当﹣2﹣ ＜﹣4即0＜a＜2时，M∈（﹣ ，0）且f（M）=﹣4
令ax2+4x﹣2=﹣4解得 x= …（8分）
此时M取较大的根，即M= = …（9分）
∵0＜a＜2，∴M= = ＞﹣1 …（10分）
②当﹣2﹣ ≥﹣4即a≥2时，M＜﹣ 且f（M）=4
令ax2+4x﹣2=4解得 x= …（11分）
此时M取较小的根，即 M= = …（12分）
∵a≥2，∴M= = ≥﹣3当且仅当a=2时取等号 …（13分）
由于﹣3＜﹣1，所以当a=2时，M取得最小值﹣3 …（14分）
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