南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．已知全集 ，集合 则 ．
2．命题：“ ”的否定是 ．
3．若复数z1=a﹣i，z2=1+i（i为虚数单位），且z1 z2为纯虚数，则实数a的值为 ．
4．已知角 终边经过点 ，则 ．
5．“ ”是“ 对 恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．
6．已知 为等比数列， ，则 ．
7．已知函数 ，则 的极大值为 .
8．已知 的一个内角为 ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 的面积为_________．
9．已知向量 中任意两个都不共线,且 与 共线, 与 共线,则向量 = ．
10．设函数 （ ），将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 ．
11．设f（x）是定义在 上的奇函数，且在区间 上单调递增，若 ，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是 ．
12．如图，在等腰三角形 中，已知 分别是边 上的点，且 其中 若 的中点分别为 且 则 的最小值是 ．
13．等差数列 的公差为d，关于x的不等式 ＋ ＋c≥0的解集为[0，22]，则使数列 的前n项和 最大的正整数n的值是 ．
14．已知数列 满足 （q为常数），若 ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知 实数 满足 , 其中 ； 实数 满足 .
(1) 若 且 为真, 求实数 的取值范围；
(2) 若 是 的必要不充分条件, 求实数 的取值范围.
16．（本题满分14分）
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝ 2AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）证明：C1E⊥平面BDE．
17．（本题满分15分）
已知向量 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）定义函数 ，求函数 的单调递减区间；并求当 时，函数 的值域.
18．（本题满分15分）
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数 （万人）与时间 （天）的函数关系近似满足 ，人均消费 （元）与时间 （天）的函数关系近似满足 .
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益 （万元）与时间 的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.
19．（本题满分16分）
已知函数
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2）求函数 单调递增区间；
（3）若存在 ，使得 是自然对数的底数），求实数 的取值范围．
20．（本题满分16分）
在数列 中， ，且对任意的 , 成等比数列，其公比为 ．
（1）若 =2( )，求 ；
（2）若对任意的 ， ， ， 成等差数列，其公差为 ，设 ．
① 求证： 成等差数列，并指出其公差；
②若 =2,试求数列 的前 项的和 ．
数学Ⅱ（附加题）
21（B）（本题满分10分）
已知矩阵M = ，N = ，试求曲线 在矩阵MN变换下的函数解析式．
21（C）（本题满分10分）
已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为 （ 为参数），求直线l被曲线 截得的线段长度.
22．（本题满分10分）
如图所示,在棱长为2的正方体 中,点 分别在棱 上,满足 ,且 .
(1)试确定 、 两点的位置.
(2)求二面角 大小的余弦值.
23．（本题满分10分）
已知函数 ．
（1）若函数 在 处取极值，求 的值；
（2）如图，设直线 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数 的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的 的取值范围；
（3）比较 与 的大小，并说明理由．
参考答案
1．已知全集 ，集合 则 ．
2．命题：“ ”的否定是 ．
答案：
3．若复数z1=a﹣i，z2=1+i（i为虚数单位），且z1 z2为纯虚数，则实数a的值为 ．
答案：﹣1
4．已知角 终边经过点 ，则 ．
答案：
5．“ ”是“ 对 恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．
答案：充分不必要
6．已知 为等比数列， ，则 ．
答案：
7．已知函数 ，则 的极大值为 .
答案：
8．已知 的一个内角为 ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 的面积为_________．
答案：
9．已知向量 中任意两个都不共线,且 与 共线, 与 共线,则向量 = ．
答案：
10．设函数 （ ），将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 ．
答案：6
11．设f（x）是定义在 上的奇函数，且在区间 上单调递增，若 ，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是 ．
答案：
12．如图，在等腰三角形 中，已知 分别是边 上的点，且 其中 若 的中点分别为 且 则 的最小值是 ．
答案：
13．等差数列 的公差为d，关于x的不等式 ＋ ＋c≥0的解集为[0，22]，则使数列 的前n项和 最大的正整数n的值是 ．
答案：11
14．已知数列 满足 （q为常数），若 ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则 ．
答案：﹣2或 或126
15．（本题满分14分）
已知 实数 满足 , 其中 ； 实数 满足 .
(1) 若 且 为真, 求实数 的取值范围；
(2) 若 是 的必要不充分条件, 求实数 的取值范围.
所以实数 的取值范围是 . ………………………7分
(2) p是q的必要不充分条件，即q p,且p q，
设A= , B = , 则A B， ………………………10分
又 ，A= ；
所以有 解得
所以实数 的取值范围是 . ………………………14分
16．（本题满分14分）
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝ 2AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）证明：C1E⊥平面BDE．
证明（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．
因为F为C1B的中点，所以FG＝∥12C1C．
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝∥C1C，且E为A1A的中点，
所以FG＝∥EA．
所以四边形AEFG是平行四边形．
所以EF∥AG． ………………………… 4分
因为EF平面ABC，AG平面ABC，
所以EF∥平面ABC． ………………………… 6分
（2）因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，
所以A1A⊥BD．
因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC．
因为A1A∩AC＝A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1．
因为C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E． ………………………… 9分
根据题意，可得EB＝C1E＝ 62AB，C1B＝ 3AB，
所以EB2＋C1E2＝C1B2．从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB．……………………… 12分
因为BD∩EB＝B，BD 平面BDE， EB平面BDE，
所以C1E⊥平面BDE． ………………………… 14分
17．（本题满分15分）
已知向量 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）定义函数 ，求函数 的单调递减区间；并求当 时，函数 的值域.
解：（1）因为 ，所以 ，…………………2分
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．……………………………………5分
（2）
，………………………………………………………………8分
令 ，得 ，
所以函数 的单调递减区间是 ．…………11分
因为 ，所以 ， ，
所以当 时，函数 的值域 ． ……………………15分
18．（本题满分15分）
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数 （万人）与时间 （天）的函数关系近似满足 ，人均消费 （元）与时间 （天）的函数关系近似满足 .
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益 （万元）与时间 的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.
解：（Ⅰ）由题意得， ……………………5分
（Ⅱ）因为 ………………………………………7分
①当 时，
当且仅当 ，即 时等号………………………………………………………11分
②当 时， ，可证 在 上单调递减，所以当 时， 取最小值为 …………………………14分
由于 ，所以该城市旅游日收益的最小值为 万元…………………15分
19．（本题满分16分）
已知函数
（1） 求函数 在点 处的切线方程；
（2） 求函数 单调递增区间；
（3） 若存在 ，使得 是自然对数的底数），求实数 的取值范围.
⑴因为函数 ，
所以 ， ，…………………………………………2分
又因为 ，所以函数 在点 处的切线方程为 ． …………4分
⑵由⑴， ．
因为当 时，总有 在 上是增函数， ………………………………8分
又 ，所以不等式 的解集为 ，
故函数 的单调增区间为 ．………………………………………………10分
⑶因为存在 ，使得 成立，
而当 时， ，
所以只要 即可．……………………………………………12分
又因为 ， ， 的变化情况如下表所示：
减函数 极小值 增函数
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，所以当 时， 的最小值 ， 的最大值 为 和 中的最大值．
因为 ，
令 ，因为 ，
所以 在 上是增函数．
而 ，故当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ．………………………………………14分
所以，当 时， ，即 ，函数 在 上是增函数，解得 ；当 时， ，即 ，函数 在 上是减函数，解得 ．
综上可知，所求 的取值范围为 ．………………………………16分
20．（本题满分16分）
在数列 中， ，且对任意的 , 成等比数列，其公比为 .
（1）若 =2( ),求 ；
（2）若对任意的 ， ， ， 成等差数列，其公差为 ，设 .
① 求证： 成等差数列，并指出其公差；
②若 =2,试求数列 的前 项的和 ．
解（1）因为 ，所以 ，故 是首项 ，公比为4的等比数列，所以 ．………………………4分
（2）因为 ， ， 成等差数列，所以2 ，
而 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 成等差数列，其公差为1．………………………………………9分
（3）因为 ，所以 ，即 ，
所以 或 ．………………………………………………………10分
（ⅰ）当 时， ，所以 ，所以 ，
即 ，得 ．所以 ，
，
，
所以 ，
．………………………………………………………13分
（ii）当 时， ，所以 ， ，
即 ，得 ．所以 ，
，
，
所以 ，
．
综合得 ，或 ．……………………………………………16分
21（B）已知矩阵M = ，N = ，试求曲线 在矩阵MN变换下的函数解析式．
解：MN = = …………………………………………………4分
即在矩阵MN变换下 …………………………………………6分
即曲线 在矩阵MN变换下的函数解析式为 ……………10分
21（C）已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为 （ 为参数），求直线l被曲线 截得的线段长度.
解：将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，
即 ，它表示以 为圆心，2为半径的圆，…………………………4分
直线方程的普通方程为 ， ………………………………6分
圆C的圆心到直线l的距离 ，…………………………………………………8分
故直线l被曲线 截得的线段长度为 ． …………………10分
22．如图所示,在棱长为2的正方体 中,点 分别在棱 上,满足 ,且 .
(1)试确定 、 两点的位置.
(2)求二面角 大小的余弦值.
解(1)以 为正交基底建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ，
, ,
∵ ,
∴ ，
∴ ，解得 …………………………………4分
∴PC=1,CQ=1,即 分别为 中点……………………………5分
(2)设平面 的法向量为 ，∵ ,又 ，
∴ ，令 ，
则 , ………………………………………………8分
∵ 为面 的一个法向量,∴ ,而二面角为钝角,
故余弦值为 ………………………………………………………………10分
23．已知函数 ．
（1）若函数 在 处取极值，求 的值；
（2）如图，设直线 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数 的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的 的取值范围；
（3）比较 与 的大小，并说明理由．
解： ，
．
∵ 在 处取极值，∴ ．
∴ （经检验 符合题意）．……………3分
（2）因为函数的定义域为 ，
且当 时， ．
又直线 恰好通过原点，所以函数 的图象应位于区域Ⅳ内，
于是可得 ，
即 ．…………………………5分
∵ ，∴ ．令 ，∴ ．
令 ，得 ．
∵ ，∴ 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减．
∴ ．
∴ 的取值范围是 ． ……………………………………………7分
（3）：由（2）知，函数 时单调递减，
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