雅安中学2015届高三12月月考数学（理）试题
考试时间：120分钟 总分：150分
命题：高三数学备课组
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1设集合A={1,2,3,5,7}，B={x∈Z|1<X≤6},全集U=A∪B，则A∩CUB =（ ）
A 、{1，4，6，7} B、{2，3，7} C、{1，7} D、{1}
2命题“存在 R，使得 0”的否定是 （ ）
A、不存在 R, 使得 >0 B、存在 R, 使得 0
C、对任意的 R, 使得 0 D、对任意的 R, 使得 >0
3.已知 的取值如下表所示
0 1 3 4
2.2 4.3 4.8 6.7
从散点图分析 与 的线性关系，且 ，则 （ ）
A. 2.2 B. 2.6 C.3.36 D.1.95
4．在等差数列 中，已知 与 是方程 的两个根，若 ，则 =（ ）
（A）2012 （B）2013 （C）2014 （D）2015
5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
（A）2 （B）1 （C） （D）
6.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为( )
（A） （B）
（C） （D）
7.有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为 ，再由乙抛掷一次，朝上数字为 ，若 就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8.已知函数 的两个极值分别为 和 ，若 和 分别在区间（0，1）与（1，2）内，则 的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9.已知两个实数 ，满足 ，命题 ;命题 。则下面命题正确的是（ ）
A. 真 假 B. 假 真 C. 真 真 D. 假 假
10．若实数 满足 ，则 的最小值为 （ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在题中的横线上。）
11.集合 ， ,则 。
12. 已知圆C的圆心为（0,1），直线 与圆C相交于A，B两点，且 ，则圆C的半径为 .
13.如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1，O2， 分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．则异面直线AF与 所成的角的余弦值为
14.在平面直角坐标系 中，过定点 的直线 与曲线 交于 点，则 ．
15、如图，A是两条平行直线 之间的一个定点，且A到 的距离分别为 ，设 的另两个顶点B,C分别在 上运动，且 ， ，则
以下结论正确的序号是____________.
① 是直角三角形；② 的最大值为 ;
③ ;
④设 的周长为 ， 的周长为 ，则 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.已知数列 满足 .
（1）求 的值；
（2）求证：数列 是等比数列；
（3）求 ，并求 前 项和
17.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE= ，∠ADE= 。
（1）该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时， - 最大？
18．某次网球比赛分四个阶段，只有上一阶段的胜者，才能参加继续下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积10分，否则积0分．甲、乙两个网球选手参加了此次比赛．已知甲每个阶段取胜的概率为 ，乙每个阶段取胜的概率为 ．
（1）求甲、乙两人最后积分之和为20分的概率；
（2）设甲的最后积分为X，求X的分布列和数学期望.
19.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA， PC的中点。
（I）记平面BEF与平面ABC的交线为 ，试判断直线 与平面PAC的位置关系，并加以证明。
（II）设（I）中的直线 与圆O的另一个交点为D，记直线DF与平面ABC所成的角为 ，直线DF与直线BD所成的角为 ，二面角 的大小为 ，求证： 。
20.设函数 ，其中 曲线 在 处的切线方程为
(1)求函数 的解析式;
（2）若 的图像恒在 图像的上方，求 的取值范围；
（3）讨论关于 的方程 根的个数.
21. 已知抛物线 的通径长为4，椭圆 的离心率为 ，且过抛物线 的焦点.
(1)求抛物线 和椭圆 的方程；
(2) 过定点 引直线 交抛物线 于 两点(点 在点 的左侧),分别过 作抛物线 的切线 ,且 与椭圆 相交于 两点.记此时两切线 的交点为点 .
①求点 的轨迹方程；
②设点 ,求 的面积的最大值,并求出此时点 的坐标.
雅安中学2014—2015学年上期（12月）
高2012级高三数学参考答案（理工类）
1.C.解：不要错选为B.
2．D．
3.B解：计算 ，又由公式 得 ，选B
4．C．由题意知， ， 。又 ，∴ ， ，
∴ 。∴ ，∴ 。故选C。
5．D．由程序框图知， ， ； ， ； ， ； ， ；…∴ 是以3为周期循环出现的，
又 ，∴ , ，∴ ,
当 时，便退出循环，∴输出 。
6.B.还原为立体图形是半个圆锥，侧面展开图为扇形的一部分，计算易得。
7.D．甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有36种，其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16种。
∴甲乙两人“默契配合”的概率为 。∴选D。
8.A解析：因为 ，由题意可知：
画出 ， 满足的可行域，如图1中的阴影部分（不包括边界）所示， 表示可行域内的点与点D（1，2）的连线的斜率，记为 ，观察图形可知， ，而 ， ，所以 。
9.B【解析】构造函数 ，求导画图分析得到 必须均小于0而且一个比-1大一个比-1小，所以答案选B
10．C【解析】因为 表示点 与 之间的距离，所以先求 的最小值．由 可知 ，即点 与 分别是曲线 与直线 上的动点，因此要求 的最小值，只要曲线 上点到直线 上点的距离的最小值，如下图所示：
设曲线 在点 处的切线 与直线 平行，则 ，所以 ，解得 或 （舍），所以点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离为 ，所以 的最小值为 ．
11． 解 集合 表示 的定义域，集合 表示 的值域，取交集为
12. .解圆心到直线的距离 。∴ 。∴所求圆的半径为 .
13.
14． 4【解析】因为 相当于对函数 的图象进行向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以曲线 的图象关于点 成中心对称，可知 是线段 的中点，故 ．
15．①②④【解析】由正弦定理得： ，则 ，又 ， ，
所以①正确；设 ，则 ， ， ， ，
则 ， ，所以②正确；
，所以③错误；
，令 ，
（当 时取等），所以④正确。
16.解：（1） . ……3分
（2） ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. ……7分
（注：文字叙述不全扣1分）
（3）由（2）得 , ……9分
. ……12分
17.[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1） ，同理： ， 。
AD—AB=DB，故得 ，
解得
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知 ，得 ，
，（当且仅当 时，取等号）
故当 时， 最大。
因为 ，则 ，所以当 时， - 最大。
故所求的 是 m。
18．【解析】（1）设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件 “甲得0分、乙得20分”为事件 ，“甲得10分、乙得10分”为事件 ，“甲得20分、乙得0分”为事件
，又 ， ， ，
；（6分）
（2）X的取值可为： , ， ， , ,
所以X的分布列可为
X 0 10 20 30 40
数学期望 （12分）
19.解：（I）∵E，F分别是PA，PC的中点，∴EF∥AC，而AC 平面ABC，EF 平面ABC，∴EF∥平面ABC。又EF 平面BEF，平面BEF 平面ABC=
∴EF∥ ，因此 ∥平面PAC。……4分
（II）如图，过B作AC的平行线BD，由（I）知，交线 即为直线BD，且 ∥AC。
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是 ⊥BC。已知PC⊥平面ABC，则PC⊥ ，
所以 ⊥平面PBC。连接BE，BF，则 ⊥BF。
故∠CBF就是二面角 的平面角，即∠CBF= 。……7分
连结CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD就是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF= 。
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，则∠BDF为锐角，∠BDF= 。……9分
于是在Rt△CDF，Rt△BDF，Rt△BCF中，分别可得 ， ， ，
从而 ，
即 .……12分
20.解：（1） 则 又
解得 所以
（2）由题意， 对一切 恒成立，
分离参数 得 ，
令 ，则 ，
令 ，探根：令 ，则 ，
又 ，说明函数 过点（1，0），且在（0，+∞）上单调递减，
其大致图像如图.
观察图像即知，当 （0，1）时， ；当 （1，+∞）时， 。
又易知 与 同号，所以 在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
即 ，故所求 取值范围为 .
(3)由题意，原方程等价于分离参数后的方程 ，
仍令 ，则由（1）知： 在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减。又当 时， ；当 时， ，即直线 （ 轴）和 是函数 图像的两条渐近线，
所以 的大致图像如图2，观察图像即知：
当 或 时，方程 根的个数为1；
当 时， 根的个数为2；
当 时， 根的个数为0.
21.解(1)根据抛物线的通径长2p=4,得抛物线 的方程为
由题意 焦点坐标为 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
(2) ①设直线 的斜率为 ,则直线 ,即 .
.设 则
抛物线 则 即 ,同理
所以 .
因为 与椭圆 相交于 两点,
, ,
即 ,所以 . .
点 的轨迹方程为 .
②法1：设 ，带入 中得： ，
设 ，则 设 与 轴交于点 ，则
…… (*)
由 与抛物线 相切得： ，故 ，
所以 ,带入(*)得：
故 时，此时 成立， 的面积的最大值为 .
此时直线
所以此时点
法2： ,
所以此时点 .
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