乐山市2015届高三第一次调查研究考试数学（理）试题
1、已知复数 ，则
2 3
2、若 ， ，那么下列不等式中正确的是
3、设 ，则“ ”是“ ”的
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
4、若点 在 角的终边上，且 的坐标为 ，则 等于
5、对于平面 、 、 和直线 、 、 、 ,下列命题中真命题是
若 ,则 若 ,则
若 则 若 ,则
6、如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在 边上，若 ，则 的值为
7、在等差数列 中， ，则数列 的前11项和S11等于
132 66
48 24
8、若函数 的图像与 轴交于点 ，过点 的直线 与函数的图像交于 ， 两点，则( ＋ )• ＝
16
32
9、已知函数 ，若方程 有两个实数根，则 的取值范围是
10、非空数集 中，所有元素的算术平均数记为 ，即
.若非空数集 满足下列两个条件：① ；② .则称
是 的一个“保均值子集”.据此，集合 的“保均值子集”有
5个 6个 7个 8个
乐山市高中2015届第一次调查研究考试
数 学（理工农医类）
第二部分（非选择题 100分）
注意事项：
1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
2．本部分共11小题，共100分.
二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11、 展开式的常数项为_____________；
12、已知向量 ,其中 , ,且 ,
则向量 和 的夹角是_________；
13、在高为100米的山顶 处，测得山下一塔顶 和塔底 的俯角分别
为 和 ，则塔 的高为_____米；
14、某实验室至少需要某种化学药品10 kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3 kg，价格为12元；另一种是每袋2 kg，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．
15、已知函数 ，记 ， ，…， 且 ，对于下列命题：
①函数 存在平行于 轴的切线；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确的命题序号是_______________（写出所有满足题目条件的序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数 为偶函数，其图象上相邻的两个最高点
间的距离为 .
（1）求 的解析式；
（2）若 为锐角，且 ，求 的值.
17.（本小题共12分）
已知函数 是定义在 上的偶函数，且 时， .
（1）求 的值；
（2）设 的值域为 ，函数 的定义域为 .若 ，求实数
的取值范围.
18.（本小题共12分）
某工厂的固定成本为3万元，该工厂没生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品
（百台），其总成本为 万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入 满足
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
（1）要使工厂有盈利，产品数量 应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？
19.（本小题共12分）
如图， 是直角梯形， , ∥ ， ，又 ， ，直线 与直线 所成的角为 .
（1）求二面角 的余弦值；
（2）求三棱锥 的体积.
20.（本小题共13分）
在等比数列 中, , .设 , 为数列 的前 项和.
（1）求数列的 的通项公式；
（2）求 ；
（3）若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
21.（本小题共14分）
设函数 ，其图象与 轴交于 ， 两点，且x1＜x2．
（1）求 的取值范围；
（2）证明： （ 为函数 的导函数）；
（3）设点C在函数 的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记 ，求
的值．
乐山市高中2015届第一次调查研究考试数学
参考答案及评分意见（理工农医类）
一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）
提示：
1、 ，则 ，故选
2、因为 ，则 ，于是 ，故选 .
5、对于 只有 相交时结论才成立；对于 还有可能 ；对于 只有当 相交时结
论才成立；对于 ，是两平面平行的性质定理，是真命题.故选 .
6、以 为原点， 所在直线分别为 轴建立平面直角坐标系，则 ，
则 ， ，故 ，故选 .
7、由 得 ，即 ，所以 .
又 ，所以 ，故选 .
8、由 解得 ，即 ，过 点的直线 与函数的图像交于 ， 两点，根据对称性可知， 是 的中点，如图，所以 ＋ ＝2 ，
所以( ＋ )• ＝2 • ＝2 ＝2×42＝32，故选 .
9、要使方程 有两个实数根，则函数 和 的图象有两个交点，而 ，画出图象，由于 过定点 ，要使两函数 和 的图象有两个交点，则由图象可知 ，故选 .
10、由题得 ，由定义可知集合 有7个： ， ， ， ，
， ， ，故选 .
二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）
提示：
11、 ，由 ，得 ，则常数项为 .
12、由题意知 设 与 的夹角为 ,
则
13、如图所示，设塔高为 ，由题知 ，则 ，
在 中， ，则在 中，由正弦定理得
，解得 （米）.
15、①③；对于①，因为 ，易知 ，所以函数 存在平行于 轴的切线，
故①正确；对于②，因为 ，所以 时，函数 单调递减，
时，函数 单调递增，故 的正负不能定，故②错；对于③，因为 =
， ，…， ，所以
，故③正确；对于④， 等价于
，构建函数 ，则 ，易知
函数 在 上不单调，故④错误；
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16、解：（1） 图象上相邻的两个最高点间的距离为 ，
，即 ，…………1分
又 为偶函数，则
又因为 ，所以 ，…………3分
.…………5分
（2）由 ，…………6分
因为 为锐角，所以 ，…………8分
所以
…………12分
（2）由函数 是定义在 上的偶函数，
可得函数 的值域 即为 时， 的取值范围.
当 时， 为单调递减函数，
所以 ，
故函数 的值域 .……………8分
又函数 的定义域为 ，……………9分
讨论：
①若 ，则 ，显然满足 ；……………10分
②若 ，则 ，要使 ，则需 ，此时 ；……………11分
综上， 的范围为 .……………12分
18、解：依题意得 ，设利润函数为 ，
则
所以 …………2分
（1） 要使工厂有盈利，则有 ，因为 ，
或 …………4分
或 或
则 或 ，…………6分
即 …………7分
所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内…………8分
（2） 当 时， ，
故当 时， 有最大值4.5…………10分
而当 时，
所以当工厂生产600台产品时盈利最大…………12分
19、 解：（1）在平面 内，过 作 ，建立空间直角坐标系 （如图），
由题意知 ，
设 ，则 ， ， ，………2分
由直线 与直线 所成的角为 ，
得 ，
即 ，解得 ，
， ，………4分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
平面 的法向量取为 ，
设 与 所成的角为 ，则 ，………6分
20、解(1)设 的公比为 ,由 ,
得 , ∴ .……………3分
∴ ………………7分
（3）①当 为偶数时,由 恒成立得,
恒成立,
即 ,
而 随 的增大而增大,∴ 时 ,
∴ ；……………9分
②当 为奇数时,由 恒成立得,
恒成立,
即 ,
而 ,当且仅当 等号成立,
∴ …………12分
综上,实数 的取值范围 …………………13分
21、解：（1） ．
若 ，则 ，则函数 是单调增函数，这与题设矛盾．…………………… 1分
所以 ，令 ，则 ．
当 时， ， 是单调减函数； 时， ， 是单调增函数；
于是当 时， 取得极小值．……………………… 2分
因为函数 的图象与 轴交于两点 ， (x1＜x2)，
所以 ，即 ．.
此时，存在 ；存在 ，
又 在 及 上的单调性及曲线在R上不间断，
可知 为所求取值范围. ……………………………… 4分
（3）依题意有 ，则 ．
于是 ，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，…………… 10分
所以 ，即 ，
由直角三角形斜边的中线性质，可知 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ．…………… 12分
因为 ，则 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以 …………………………………… 14分
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