秘密★考试结束前 【考试时间：1月 3日14:30—16:30 】
贵州省七校联盟2015届高三第一次联考试卷
理科数学
命题学校：清华中学 审卷学校：贵阳六中
联考学校：贵阳六中 清华中学 遵义四中 凯里一中 都匀一中 都匀二中 安顺一中
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。
2．选择题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
第I卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知集合 则 的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2. 复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3. 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的两倍，则实数 的值是（ ）
A．4 B．
C． D．-4
4. 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）
A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤
5. 已知函数 的图像如右图所示，则 的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
6. 在 中， 是边 上的一点，且 则 的值为（ ）
A．0 B． -4 C．8 D．4
7. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ）
①“若 则 中至少有一个不小于1”的逆命题。
②存在正实数 ，使得
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”。
④在 中， 是 的充分不必要条件。
A．0 B．1 C．2 D．3
8. 设实数 均为区间 内的随机数，则关于x的不等式 有实数解的概率为（ ）
A． B．
C． D．
9. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，终边在直线 上，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．-1 B．1
C．-2 D．2
11. 一个平行四边形的三个顶点的坐标为 ，点 在这个平行四边形的内部或边上，则 的最大值是（ ）
A．16 B．18
C．20 D．36
12. 已知圆C的方程 ，P是椭圆 上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知扇形AOB（ 为圆心角）的面积为 ，半径为2，则 的面积为 ，
14. 在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩 ，统计结果显示 ，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有 人.
15. 的展开式中不含 的项的系数和为 . (结果化成最简形式).
16. 已知函数 若函数 有3个零点，则实数k的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知 是等差数列， 是等比数列， 为数列 的前n项和， 且
（1） 求 和
（2） 若 ，求数列 的前n项和
18. （本小题满分12分）
如图，几何体 中， 为边长为 的正方形， 为直角梯形， ， ， ， ， ．
（1）求证:
（2）求二面角 的大小．
19. （本小题满分12分）
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵.早高峰时段（T≥3），从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：
（1）据此直方图估算交通指数T∈[4，8）时的中位数和平均数
（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？
（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟；中度拥堵为45分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
20. （本小题满分12分）
函数 ，其中 是自然对数的底数， ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时，求整数t的所有值，使方程 在 上有解；
（3）若 在 上是单调增函数，求 的取值范围．
21. （本小题满分12分）
已知中心在原点 ，左焦点为 的椭圆C的左顶点为 ，上顶点为 ， 到直线 的距离为 .
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若椭圆 方程为： （ ），椭圆 方程为： （ ，且 ），则称椭圆 是椭圆 的 倍相似椭圆.已知 是椭圆C的 倍相似椭圆，若直线 与两椭圆 、C交于四点(依次为 、 、 、 )，且 ，试研究动点 的轨迹方程.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图5，⊙O1和⊙O2 公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点。
（1）求证： ～ ；
（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求 的值。
23. （本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
已知在一个极坐标系中点C的极坐标为 。
（1）求出以C为圆心,半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形
（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点, 极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点， ， 是线段 的中点，当点P在圆C上运动时，求点 的轨迹的普通方程。
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ)当 时,求不等式 的解集;
(Ⅱ)若 对 恒成立,求实数a的取值范围.
贵州省七校联盟2015届高三第一次联考试卷
（理科数学）参考答案及评分细则
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B B A D C C D A C C
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13、 14、 78 15、 -1024 17、
三、解答题：（ 共70分。）
17、解：（1）由题意 3分
所以 6分
（2）若 ，由（1）知 ， 8分
10分
12分
18、（1）证明：由题意得， ， ，且 ，
∴ 平面 ， ∴ ， ………………2分
∵四边形 为正方形. ∴
由 ∴ ∴ ………………4分
又∵四边形 为直角梯形， ， ， ，
∴ ， 则有 ∴
由 ∴ ∴ ……6分
（2）解法一：由（1）知 所在直线相互垂直，故以 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………7分
可得 ，
由（1）知平面FCB的法向量为
∴ ， ………………8分
设平面EFB的法向量为 .
则有:
令z=1则 ………………10分
设二面角 的大小为
∵ ………………12分
解法二：（传统几何法）略
19、解:（1）由直方图知： 时交通指数的中位数为5+1 = 2分
时交通指数的平均数为 …...4分
（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则 5分
则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：
7分
所以3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为 8分
（3）由题意，所用时间x的分布列如下表：
x 30 35 45 60
P 0.1 0.44 0.36 0.1
则 11分
所以此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟 12分
20、解：(1)因为 ，所以不等式 即为 ， 2分
又因为 ，所以不等式可化为 ， 3分
所以不等式 的解集为 ． 4分
(2)当 时, 方程即为 ，由于 ，所以 不是方程的解，
所以原方程等价于 ， 5分
令 ，因为 对于 恒成立，
所以 在 和 内是单调增函数， 6分
又 ， ， ， ，所以方程 有且只有两个实数根，且分别在区间 和 上， 7分
所以整数t的所有值为 ． 8分
(3) ， 9分
①当 时， ， 在 上恒成立，当且仅当 时取等号，故 符合要求； 10分
②当 时，令 ，因为 ，
所以 有两个不相等的实数根 ， ，不妨设 ，因此 有极大值又有极小值．
若 ，因为 ，所以 在 内有极值点，
故 在 上不单调． 11分
若 ，可知 ，
因为 的图象开口向下，要使 在 上单调，因为 ，必须满足 即 所以 .
综上可知， 的取值范围是 ． 12分
21、解：(1)设椭圆 方程为： （ ），
所以直线 方程为： ………………………………………………1分
∴ 到直线 距离为 …… 2分
又 ，解得： ， ………………………………………………4分
故：椭圆 方程为： .………………………………………………… 5分
(2) 椭圆 的 倍相似椭圆 的方程为： ………………………………6分
设 、 、 、 各点坐标依次为 、 、 、
将 代人椭圆 方程，得：
∴ （*）…………7分
此时： ，
…………………………8分
将 代人椭圆 方程，得：
∴ ， …………9分
∴ ，可得线段 、 中点相同，所以 ………10分
由 ，所以 ，可得：
∴ （满足(*)式）. ……11分
故：动点 的轨迹方程为 . ……………………………………12分
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
（1）证明：∵AD是两圆的公切线，
∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH,
∴DE×DG= DF×DH, ∴ ，
又∵∠EDF=∠HDG，
∴△DEF∽△DHG。………………………4分
（2）连结O1 A，O2A，∵AD是两圆的公切线，
∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，
∴O1O2共线，
∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD2= O1A×O2A，………………………8分
设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，
∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴ 。………………………10分
23.解:(1)如图,设圆C上任意一点 …2分
由余弦定理得: ∴ 圆C的极坐标方程 …4分
作图………….5分
(2)在直角坐标系中,点C的坐标为 ,可设圆C上任意一点
又令 由 , 是线段 的中点 ………….7分
∴M的参数方程为: ………….9分
∴点 的轨迹的普通方程为: ………….10分
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