高三年级阶段性随堂练习
数学试题（2014.12）
一、 填空题：
1.已知集合 ， ，则 .
2.命题 ,命题 , 是 条件．
（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）
3.函数 的最小正周期为 ．
4.已知函数 的单调递增区间为 ．
5.直线 在两坐标轴上的截距之和为2，则实数 的值是 .
6.若Sn为等差数列{an}的前n项和，S13=－104，则a7的值为 ．
7.已知实数 满足线性约束条件 则目标函数 的最大值是 ．
8.曲线C： 在点M（1，e）处的切线方程为 ．
9.如图，已知正方形 的边长为3， 为 的中点， 与 交于点 ，则 ．
10.已知 为正实数，且 则 的最小值为 ．
11.已知函数 , ， 的值域为 ．
12.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为____．
13.设 为非零实数，偶函数 在区间 上存在唯一的零点，则实数 的取值范围是 .
14.已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，其前 项和记为 ，又设 ， 的所有非空子集中的最小元素的和为 ，则 的最小正整数 为 ．
二、解答题：
15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为 、 、 ．已知向量 ， ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求△ABC的面积S．
16.平面直角坐标系 中，直线 截以原点O为圆心的圆所得的弦长为 ．
（1）求圆 的方程；
（2）过点 的直线 与圆 相切，求直线 的方程．
17.如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在 处同时出发，沿直线 、 向前联合搜索，且 （其中点 、 分别在边 、 上），搜索区域为平面四边形 围成的海平面.设 ，搜索区域的面积为 .
（1）试建立 与 的关系式，并指出 的取值范围；
（2）求 的最大值.
18.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率为 ，右准线方程是 ,左、右顶点分别为A、B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点M满足MB⊥AB，直线AM交椭圆于点P，求证： 为定值；
（3）在（2）的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
19.设各项均为非负数的数列 的前 项和为 ， （ ， ）．
（1）求实数 的值；
（2）求数列 的通项公式（用 表示）；
（3）证明：当 时， ．
20.已知函数 ， ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）记函数 ，当 时， 在 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围；
（3）记函数 ，证明：存在 ，此时有一条过原点的直线 与 的图象有两个切点．
高三数学随堂练习答案
二、 填空题：
1．已知集合 ， ，则 .
解析： ， .
2. 函数 的最小正周期为 ．
解析： ，所以最小正周期 .
3．命题 ,命题 , 是 条件．
（填“充分不必要”， “必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中的一个）
解析：充分不必要
4．已知函数 的单调递增区间为 ．解析：
5. 直线 在两坐标轴上的截距之和为2，则实数 的值是_____.
6．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5 a7的值为 ．32
7.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为________．
8. 如图，已知正方形 的边长为3， 为 的中点， 与 交于点 ，则 ________．
9. 已知函数f(x)＝sinx cos（x＋π6） , x∈[π12,π4]，求f(x)的值域 ．
10.已知椭圆 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上任意一点，且直线 的斜率分别为 ，若椭圆的离心率为 ，则 的最小值为 ．1
11. 设 为非零实数，偶函数 在区间 上存在唯一的零点，则实数 的取值范围是 .
解析： 为偶函数， ，结合图形可知 .
12. 已知 为正实数，且 则 的最小值为 2 ．
13．已知圆C： ，点P在直线l： 上，若圆C上存在两点A、B使得 ，则点P的横坐标的取值范围是 ．
14.已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，其前 项和记为 ，又设 ， 的所有非空子集中的最小元素的和为 ，则 的最小正整数 为 ．
解析:45
解：由题意有 ，对于和 ，我们首先把 中的元素按从小到大顺序排列，当 时， ，对于 中的任一元素 ，比它大的有 个，这 个元素组成的集合的所有子集有 个，把 加进这些子集形成新的集合，每个都是以 为最小元素的 的子集，而最小元素为 的 的子集也只有这些，故在 中 出现 次，所以
， 时， 适合上式， 时， ．当 ， 不成立，当 时， ， ，由于 ， ， ，所以 ，最小的 为 ．
二、解答题：
15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为 、 、 .已知向量 ， ，且 ．
（1）求 的值；（2）若 ，求△ABC的面积S．
16.已知圆C经过P（4，– 2），Q（– 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为 ，半径小于5．
（1）求圆C的方程．
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B， ，求直线l的方程．
解：(1) PQ为 2分
C在PQ的中垂线 即y = x – 1上 3分
设C（n，n – 1），则 4分
由题意，有 5分
∴ ∴ n = 1或5，r 2 = 13或37（舍） 7分
∴圆C为 8分
解法二：
设所求圆的方程为
由已知得 解得
当 时， ；当 时， （舍）
∴ 所求圆的方程为
(2) 设l为 9分
由 ，得 10分
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 11分
∵ ， ∴ 12分
∴
∴ ∴ m = 3或 – 4（均满足 ）
∴ l为 14分
17.某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4千米，BC = 6千米，CD = 2千米，
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
解：(1) ，由余弦定理得：
∴ ………………………………2分
∵ ∴ ，
S四边形ABCD = （平方千米）……5分
∴
由正弦定理得： （千米） （千米）
………………………………8分
(2) S四边形APCD = ，又 …………9分
设AP = x，CP = y，则 …………………10分
由余弦定理得：
∴ ，当且仅当x = y时取“＝”………………………………12分
∴S四边形APCD = （平方千米）
∴ 作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为 平方千米 ……14分
18.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，左、右顶点分别为A，B．
(1)若椭圆的右准线方程是x＝4，求a，b的值；
(2)若动点M满足MB⊥AB，直线AM交椭圆于点P，求证：OM•OP为定值；
(3)在(2)的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直
线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：
19. 在数列 中, , 且对任意的 , 成等比数列, 其公比为 .
（1） 若 , 求 ；
（2） 若对任意的 , 成等差数列, 其公差为 , 设 .
① 求证: 成等差数列, 并指出其公差；
② 若 , 试求数列 的前 项和 .
（1）因为 ,所以 ,故 是首项为1,公比为4的等比数列,
所以 …………………………………………………… 4分
（注: 讲评时可说明, 此时数列 也是等比数列, 且公比为2）
（2）①因为 成等差数列,所以 ,
而 ,所以 ,则 ………………………… 7分
得 ,所以 ,即 ,
所以 是等差数列,且公差为1………………………………………………………………………9分
②因为 ,所以 ,则由 ,解得 或 ………………10分
（ⅰ）当 时, ,所以 ,则 ,即 ,得 ,所以
,则 ……12分
所以 ,则 ,故 ……………14分
（ⅱ）当 时, ,所以 ,则 ,即 ,
得 ,所以 ,
则 ,所以 ,从而 .
综上所述, 或 …………………………………………………………………16分
20.已知函数 ， ， ．
⑴求函数 的单调区间；
⑵记函数 ，当 时， 在 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围；
⑶记函数 ，证明：存在一条过原点的直线 与 的图象有两个切点．
（1）因为 ，
①若 ，则 ， 在 上为增函数，…………………………2分
②若 ，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ．
所以 为单调减区间， 为单调增区间．
综上可得，当 时， 为单调增区间，
当 时， 为单调减区间， 为单调增区间． ……………4分
（2） 时， ，
， ……………………………………………………5分
在 上有且只有一个极值点，即 在 上有且只有一个根且不为重根，
由 得 ， ………………………………………………………6分
（i） ， ，满足题意；…………………………………………………………7分
（ii） 时， ，即 ；………………………………………8分
（iii） 时， ，得 ，故 ；
综上得： 在 上有且只有一个极值点时， ． ……………………………9分
注：本题也可分离变量求得．
（3）证明：由（1）可知：
（i）若 ，则 ， 在 上为单调增函数，
所以直线 与 的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分
（ⅱ）若 ， 在 处取得极值 ．
若 ， 时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分
故 ，设 图象与 轴的两个交点的横坐标为 （不妨设 ），
则直线 与 的图象有两个切点即为直线 与 和 的切点．
， ，
设切点分别为 ，则 ，且
， ， ，
即 ， ①
， ②
，③
①-②得： ，
由③中的 代入上式可得： ，
即 ， ……………………………………………………………14分
令 ，则 ，令 ，因为 ， ，
故存在 ，使得 ，
即存在一条过原点的直线 与 的图象有两个切点．……………………16分
点击下载：江苏省盐城中学2015届高三上学期12月月考 数学
