胶州一中2015届高三上学期12月第二次质量检测
数学（文）试题
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分．）
1.若 ， ，则下列不等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2.
下列说法一定正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一枚硬币掷一次得到正面的概率是 ，那么掷两次一定会出现一次正面的情况
C．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
3.
已知向量 ， ，若m +n 与 共线，则 等于( )
(A) (B) (C) (D)
4.已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列 的前n项和为Tn，则T2014的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.
下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x 1 2 3 4
用水量y 4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程
是y^＝－0.7x＋a，则a等于( )
A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
6.已知函数 ，若 是从 三个数中任取的一个数， 是从 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在 中, ,则此三角形解的情况是 （ ）
A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
8.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（ ）
A． B． C． D．
9.
已知 是自然对数的底数，函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10.已知函数 对定义域 内的任意 都有 = ,且当 时其导函数 满足 若 则
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分．）
11.已知 为原点，椭圆 上一点 到左焦点 的距离为4， 是 的中点．则 = .
12.已知圆 与圆 交于 两点，则 所在直线的方程为
13.已知 是定义在 上的奇函数，且 当 时，
则 _________.
14.已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________。
15.已知命题：
①若 ，则 ；②“设 ，若 ，则 或 ”是一个真命题；③在 中， 的充要条件是 ；④“ 为真命题”是“ 为假命题”的必要不充分条件。其中正确命题的序号是
三、解答题(共75分)
16．（本小题满分12分）
甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
17．（本小题满分12分）
已知函数 其中向量 若 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于
（1）求 的取值范围；
（2）在 中， 分别是角 的对边， 当 最大时， 求 的面积最大值.
18．（本小题满分12分）
已知递增等比数列 的前n项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，且 的前 项和 ．求证：
19．（本小题满分12分）
.如图所示，矩形 中， ， ． ， 分别在线段 和 上， ∥ ，将矩形 沿 折起．记折起后的矩形为 ，且平面 平面 ．
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）若 ，求证： ；
（Ⅲ）求四面体 体积的最大值．
20．（本小题满分13分）
已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在 轴上,左、右焦点分别为F1、F2,且 在椭圆C上.
(I)求椭圆C的方程;
(II)过F1的直线 与椭圆C相交于A,B两点,且 的面积为 ,求直线 的方程.
21．（本小题满分14分）
已知函数 ,其中 是自然对数的底数, .
(1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 ,求 的单调区间;
(3)若 ,函数 的图象与函数 的图象有3个不同的交点,求实数 的取值范围.
高三第二次阶段检测（文数）答案
一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.C
二、填空题
11.3 12.2x+y=0 13.0 14. 15.①②③④
三、解答题：
16.解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π•R2，
阴影部分的面积为 ，
则在甲商场中奖的概率为： ；
如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，
记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）
（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），
（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共15种，
摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，
则在乙商场中奖的概率为：P2= ，
又P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．
17.解（1）由题意知
=
解得
（2）由（1）知 即
又∵ ∴ ∴ 得
由余弦定理得 即
∴
18解析：（1）设公比为q，由题意：q>1, ，则 ， ，∵ ，∴ ， 2分
则 解得： 或 （舍去），
∴ 4分
（2） 6分
9分
又∵ 在 上是单调递增的
∴
∴ 12分
19.（Ⅰ）证明：因为四边形 ， 都是矩形， 所以 ∥ ∥ ， ．
所以 四边形 是平行四边形，……………2分
所以 ∥ ， ………………3分
因为 平面 ，所以 ∥平面 ．4分
（Ⅱ）证明：连接 ，设 ．
因为平面 平面 ，且 ， 所以 平面 …5分
所以 ．
又 ， 所以四边形 为正方形，所以 ．
所以 平面 ， 所以 ． …………8分
（Ⅲ）解：设 ，则 ，其中 ．由（Ⅰ）得 平面 ，
所以四面体 的体积为 ．
所以 ．
当且仅当 ，即 时，四面体 的体积最大． …………12分
20.【答案】
21.解:(1)因为 , 所以 , 所以曲线 在点 处的切线斜率为 又因为 , 所以所求切线方程为 ,即 (2) , ①若 ,当 或 时, ; 当 时, . 所以 的单调递减区间为 , ; 单调递增区间为 ②若 , ,所以 的单调递减区间为 . ③若 ,当 或 时, ; 当 时, . 所以 的单调递减区间为 , ; 单调递增区间为 (3)由(2)知, 在 上单调递减,在 单调递增,在 上单调递减, 所以 在 处取得极小值 ,在 处取得极大值 . 由 ,得 . 当 或 时, ;当 时, . 所以 在 上单调递增,在 单调递减,在 上单调递增. 故 在 处取得极大值 ,在 处取得极小值 . 因为函数 与函数 的图象有3个不同的交点, 所以 ,即 . 所以
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