福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考试卷数学（理）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，只有一项是符合题目要求的。
1、已知R为实数集， , ，则 （ ）
A．{x|0<x<1} B．{x|x<2} C．{x|0<x<2} D．
2．设 ,且 ，则锐角 为（ ）
A． B． C． D．
3．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A． B. C. D.
4．在等比数列 中， ，则 的值是（ ）
A． B． C. D．
5．在各项都为正数的等差数列 中，若a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5•a6的最大值等于（ ）
A. 3 B. 6 C.9 D. 36
6．设 ， ， 表示三条直线， ， ， 表示三个平面，给出下列四个命题：
①若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ ；
②若 ， 是 在 内的射影， ⊥ ，则 ⊥ ；
③若 ， ∥ ，则 ∥ ；
④若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ . 其中真命题为（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．③④
7.将函数 的图像向右平移n个单位后所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，
M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A.D1O∥平面A1BC1 B. D1O⊥平面AMC
C.异面直线BC1与AC所成的角等于60° D.二面角M－AC－B等于45°
9.已知函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是
A. f(x)在(0,1)上恰有一个零点 B. f(x)在(－1,0)上恰有一个零点
C. f(x)在(0,1)上恰有两个零点 D. f(x)在(－1,0)上恰有两个零点
10．某同学在研究函数 ( R) 时，分别给出下面几个结论：
①等式 在 时恒成立； ②函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；
③若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)； ④函数 在 上有三个零点.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C． ①③④ D．①②③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。
11． 。
12.若变量x,y满足约束条件 ，则 的最大值等于 。
13．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ．
14.如图，自然数列按正三角形图顺序排列，如数9排在第4行第3个位置；设数2015排在第m行第n个位置，则
15 .已知函数 若对任意实数 ,有 ,
,则 的最大值为
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
在数列 中， ， （ ，常数 ），且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式．
17.（本小题满分13分）
已知函数 －
（1）求 的最小正周期及其对称中心；
（2）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数 的值域。
18．（本小题满分13分）
如图，三棱柱 中， 面 ，
, ， ， 为 的中点。
(I)求证： 面 ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值
19.（本小题满分13分）
如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，
直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4.
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°.
20.（本小题满分14分）
设曲线 在点 处的切线斜率为 ，且 。
对一切实数 ，不等式 恒成立
（I）求 的值。
（II）求函数 的表达式；
（III）求证：
21.（本题满分14分）
请考生在第（I）、（II）、（III）题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
I. 选修4—2 矩阵与变换
已知矩阵
（1）求A的逆矩阵A-1 ；
（2）求A的特征值及对应的特征向量。
II．选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程： （ 为参数）和圆 的极坐标方程： 。
（1）将直线 的参数方程化为普通方程，圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线 和圆 的位置关系。
III．选修4－5：不等式证明选讲
将12cm长的细铁线截成三条长度分别为 、 、 的线段，
（1）求以 、 、 为长、宽、高的长方体的体积的最大值；
（2）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值。
四地六校第三次月考试卷参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．D 9．B 10.B
二、填空题
11. 12．6； 13.29 14. 125 15.lg
三、解答题
16、解：（1）由题知， ， ， ， ………2分
因为 ， ， 成等比数列，所以 ， ………4分
解得 或 ，又 ，故 ． ………6分
（2）当 时，由 得
，
，
…
，
以上各式相加，得 ， ………9分
又 ， ，故 ， ………11分
当 时，上式也成立， ………12分
所以数列 的通项公式为 （ ）． ………13分
17、解：(1)
= …………….4分
的最小正周期为 ……………5分
的对称中心为 …………….6分
(2) ………..8分
又 ……………9分
而 ……………10分
由 ，得
……………….13分
18．解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，
∵D为AC中点， ∴OD∥B1A ………………2分
又B1A 平面BDC1，OD 平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1 ………………4分
(也可证明 且AB1 平面BDC1)
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC 则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如图以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) ………………7分
∴设平面 的法向量为 ，由
得 ，即 ，取 ， 则 ………………9分
又平面BDC的法向量为 ………………10分
cos ………………11分
又二面角C1—BD—C为锐二面角 ………………12分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为 ………………13分
19．解：
20．解：（I）由对一切实数 ，不等式 恒成立
得 ， …………3分
（II）
由 得 得 …………5分
又 恒成立
则由 恒成立得 …………7分
同理由 恒成立得 …………8分
综上， …………9分
（III） …………10分
要证原不等式，即证： …………11分
…………14分
注：第（III）小题也可用数学归纳法证明。
21．
I. 解：（1）∵ ∴A可逆 …………1分
∴ ……………………3分
（2）A的特征多项式 ………4分
由 ，得 或 ； ……………………5分
当 时，由 得特征向量
当 时，由 得特征向量 ……………………7分
II. 解：（1） ， ……………………3分
（2）圆心 ，半径
圆心到直线的距离为 ，∴直线和圆相交。 ……………………7分
III.解：（1） ， ；
当且仅当 时，等号成立. ……………………3分
（2）设正三角形的边长为 ，则
由柯西不等式 ………5分
∴这三个正三角形面积和
当且仅当 时，等号成立.
∴这三个正三角形面积和的最小值为 ……………………7分
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