胶州一中2015届高三上学期12月第二次质量检测
数学（理）试题
一、选择题
1．若集合 ， ，则
A． B． C． D．{ }
2. 已知直线 ⊥平面 ，直线 平面 ，下面有三个命题：
① ∥ ⊥ ；② ⊥ ∥ ；③ ∥ ⊥ ； 则真命题的个数为( )
A． B． C． D．
3. 已知等差数列 的公差为 ，且 ，若 ，则 为（ ）
A． B. C． D.
4．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图
都是边长为 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A． B. C． D.
5.若直线 与圆 相切，则 的值为（ ）
A.1或﹣1 B.2或﹣2 C.1 D.﹣1
6．已知向量 夹角为 ，且 ， ，若 ，则实数 的值是( )
A.9 B.﹣9 C.10 D.﹣10
7．将奇函数 的图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
8.若函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则弦 的中点到直线 的距离为( )
A. B. C.2 D.4
10. 设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11. 已知焦点在 轴上的双曲线的渐近线为 ，则次双曲线的离心率为_______
12. 设变量 满足约束条件： ,则目标函数 的最小值为
13．在 中，已知 ，当 时， 的面积为_____
14．已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则 的最小值为___________
15.定义在R上的奇函数 满足 ，当 时， ，则以下结论中正确的是______
① 图像关于点 对称；② 是以2为周期的周期函数
③当 时 ④ 在 内单调递增
三、解答题
16. 如图5，在平面四边形 中， ， ， .
（1） 求 的值；
（2） 若 ， ，求 的长.
17.如图，在四棱柱 中，侧面 ⊥底面 ， ，底面 为直角梯形，其中 ∥ , ， ， 为 中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求锐二面角 的余弦值．
18.小王大学毕业后，决定利用所学专业知识进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产 万件，需另投入流动成本 万元。在年产量不足8万件时， （万元）；在年产量不小于8万件时， （万元），每件产品售价为5元，通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完。
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 万件的函数解析式（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
19.已知正项数列 的前n项和为 ， ,且
(I)证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 ,数列 的前项n和为 ,求证：
20.已知函数 其中e是自然数的底数， .
（I）当 时，解不等式 ；
（II）若 上是单调增函数，求 的取值范围；
（III）当 ，求使方程 上有解的所有整数 的值.
21.设椭圆C： 的一个顶点与抛物线： 的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点F2的直线 与椭圆C交于M、N两点．
(I)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求 的值
胶州一中高三阶段性检测数学答案（理）
1-5:BCBAD 6-10:BDBAB
11. 12.1 13. 14.4 15.①②③
16. 解：（1）在 中，则余弦定理，得 .
由题设知， .…………4分
（2）设 ，则
因为 ， ，所以
.
于是
.…………10分
在 中，由正弦定理， ，
故 …………12分
17.(1)证明：如图，连接 ，则四边形 为正方形，所以 ，且 ，………2分
故四边形 为平行四边形，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………5分
(2)因为 为 的中点，所以 ，又侧面 ⊥底面 ，交线为 ，故 ⊥底面 。 …………6分
以 为原点，所 在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的坐标系， 则 ，
，
设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，令 ，则 ．
又设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，令 ，则 ， …………10分
则 ，
故所求锐二面角 的余弦值为 ． …………12分
18.解：（1）因为每件商品售价为5元，则 万件商品销售收入为 万元，依题意得
当 时， …………2分
当 时， …………4分
所以 …………6分
（2）当 时， 此时，
当 时 …………8分
当 时，
当且仅当 即 时等号成立，即当 时 ……10分
综上，当年产量为10万件时小王在这一商品的生产中所获利润最大为15万元…12分
19.解：（1）由 得
又 ，于是
所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列
，即 …………3分
当 时，
当 时 也符合上式，因此 …………6分
（2） …………8分
所以 …………10分
因为 ，所以 …………12分
20解：（1）因为 ，所以 即
又因为 ，所以不等式可化为
所以不等式的解集为 …………3分
（2）
①当 时， 在 上恒成立，当且仅当 时取等号，
故 符合题意…………5分
②当 时，令
所以 有两个不等的实根 ，不妨设
因此 既有极大值也有极小值
若 因为 ，所以 在 内有极值点
故 在 上不单调………………7分
若 ， 开口向下且 可知
若 在 上单调递增，则
即 ，所以 ，
综上可知，实数 的取值范围为 ………………9分
（3）当 时，方程即为 ，由于 ，所以 不是方程的解
所以原方程等价于 ，令
因为 对任意 恒成立
所以 在 内是单调递增函数…………11分
又
所以方程 有且只有两个实根，且分别在区间 上
所以整数 的所有取值为 …………13分
21.解：（1）椭圆的顶点为 即
解得 ，故椭圆方程为 ……2分
（2）由题知直线 比与椭圆相交
当直线 斜率不存在时，经检验不合题意……3分
设直线 为
由
……5分
解得 ，故直线 的方程为 ……9分
（3）设
当 不存在斜率时，可求得 ，
由（2）可得：
当 存在斜率时
……11分
由 得
……13分
综上 ……14分
胶州一中高三阶段性检测数学答案（理）
1-5:BCBAD 6-10:BDBAB
11. 12.1 13. 14.4 15.①②③
16. 解：（1）在 中，则余弦定理，得 .
由题设知， .…………4分
（2）设 ，则
因为 ， ，所以
.
于是
.…………10分
在 中，由正弦定理， ，
故 …………12分
17.(1)证明：如图，连接 ，则四边形 为正方形，所以 ，且 ，………2分
故四边形 为平行四边形，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………5分
(2)因为 为 的中点，所以 ，又侧面 ⊥底面 ，交线为 ，故 ⊥底面 。 …………6分
以 为原点，所 在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的坐标系， 则 ，
，
设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，令 ，则 ．
又设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，令 ，则 ， …………10分
则 ，
故所求锐二面角 的余弦值为 ． …………12分
18.解：（1）因为每件商品售价为5元，则 万件商品销售收入为 万元，依题意得
当 时， …………2分
当 时， …………4分
所以 …………6分
（2）当 时， 此时，
当 时 …………8分
当 时，
当且仅当 即 时等号成立，即当 时 ……10分
综上，当年产量为10万件时小王在这一商品的生产中所获利润最大为15万元…12分
19.解：（1）由 得
又 ，于是
所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列
，即 …………3分
当 时，
当 时 也符合上式，因此 …………6分
（2） …………8分
所以 …………10分
因为 ，所以 …………12分
20解：（1）因为 ，所以 即
又因为 ，所以不等式可化为
所以不等式的解集为 …………3分
（2）
①当 时， 在 上恒成立，当且仅当 时取等号，
故 符合题意…………5分
②当 时，令
所以 有两个不等的实根 ，不妨设
因此 既有极大值也有极小值
若 因为 ，所以 在 内有极值点
故 在 上不单调………………7分
若 ， 开口向下且 可知
若 在 上单调递增，则
即 ，所以 ，
综上可知，实数 的取值范围为 ………………9分
（3）当 时，方程即为 ，由于 ，所以 不是方程的解
所以原方程等价于 ，令
因为 对任意 恒成立
所以 在 内是单调递增函数…………11分
又
所以方程 有且只有两个实根，且分别在区间 上
所以整数 的所有取值为 …………13分
21.解：（1）椭圆的顶点为 即
解得 ，故椭圆方程为 ……2分
（2）由题知直线 比与椭圆相交
当直线 斜率不存在时，经检验不合题意……3分
设直线 为
由
……5分
解得 ，故直线 的方程为 ……9分
（3）设
当 不存在斜率时，可求得 ，
由（2）可得：
当 存在斜率时
……11分
由 得
……13分
综上 ……14分
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