杭州二中2015届高三第二次月考
数学（理）试题
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、若集合 ， ，则
A． B． C． D．
2、实数等比数列 中， ，则“ ”是“ ” 的（ ）
A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、已知圆 ，直线 ，则与 的位置关系是
A．一定相离 B．.一定相切 C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心
4、已知实数等比数列 公比为 ，其前 项和为 ，若 、 、 成等差数列，则 等于（ ）
A． B．1 C． 或1 D．
5、已知 、 满足 ，且 的最大值是最小值的 倍，则 的值是 （ ）
A． B． C． D．
6、等差数列 前n项和为 ，已知 ，则 （ ）
A．125 B．85 C．45 D．35
7、若正数a，b满足 ，则 的最小值为( )
A．1 B．6 C．9 D．16
8、已知 分别是椭圆的左，右焦点，现以 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 ，若过 的直线 是圆 的切线，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
9、若等差数列 满足 ，则 的最大值为 （ ）
A．60 B．50 C． 45 D．40
10、已知函数 是定义在R上的奇函数，在 上是增函数，且 ，给出下列结论：
①若 且 ，则 ；②若 且 ，则 ；③若方程 在 内恰有四个不同的实根 ，则 或8；④函数 在 内至少有5个零点，至多有13个零点
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11、如图为了测量 ， 两点间的距离，选取同一平面上 ， 两点，测出四边形 各边的长度（单位： ）:AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则 的长为_________ ．
12、在△ABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则角B等于 ．
13、函数 ，则函数 的所有零点所构成的集合为________．
14、已知正三棱柱 体积为 ，底面是边长为 .若 为底面 的中心，则 与平面 所成角的大小为
15、已知 是关于x的方程 的两个根，则
．
16、已知O是 外心，若 ，则 ．
17、已知函数 ，对 ，有 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18、在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
19、如图，在三棱锥 中， 平面 ．已知 ，点 ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 在线段 上，满足 平面 ，求 的值．
20、已知数列 的首项为 ，前 项和为 ，且有 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）当 时，若对任意 ，都有 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，若 ，求能够使数列 为等比数列的所有数对 ．
21、如图，已知圆 ，经过椭圆 的右焦点F及上顶点B，过圆外一点 倾斜角为 的直线 交椭圆于C，D两点，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．
22、已知函数 ．
（Ⅰ）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值．
参考答案
一、选择题 1-10 CACAB CBABC
二、填空题 11、7； 12、 ； 13、 ； 14、 ；
15、 ； 16、 17、 或
三、解答题
18、解：（1）由正弦定理知：
代入上式
得：
, .即 , ,
（2）由（1）得：
,
19、（1）证明： 平面PAB
，D为PB中点
, , 平面
（2）连接DC交PE于G，连接FG
平面PEF，平面 平面PEF=FG
,又 为 重心,
20、解：（1）当 时，由 解得
当 时， ，
，即
又 ，综上有 ，即 是首项为 ，公比为t的等比数列,
（2）当 时， ，
当 时， 单调递增，且 ，不合题意；
当 时， 单调递减，由题意知： ，且
解得 , 综上a的取值范围为
（3） ，
由题设知 为等比数列，所以有, ，解得 ，即满足条件的数对是 ．
（或通过 的前3项成等比数列先求出数对 ，再进行证明）
21、解：（Ⅰ）∵圆G： 经过点F、B．∴F（2，0），B（0， ），
∴ ， ． ∴ ．故椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）设直线 的方程为 ．
由 消去 得 ．
设 ， ，则 ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ = = ． ∵点F在圆G的外部， ∴ ，
即 ，解得 或 ．
由△= ，解得 ．又 ， ．
∴ ．
22、解：（1）不等式 对 恒成立，即 （*）对 恒成立，
①当 时，（*）显然成立，此时 ；
②当 时，（*）可变形为 ，令
因为当 时， ，当 时， ，所以 ，故此时 .
综合①②，得所求实数 的取值范围是 .
（2）因为 = …10分
①当 时，结合图形可知 在 上递减，在 上递增，
且 ，经比较，此时 在 上的最大值为 .
②当 时，结合图形可知 在 ， 上递减，
在 ， 上递增，且 ， ，
经比较，知此时 在 上的最大值为 .
③当 时，结合图形可知 在 ， 上递减，
在 ， 上递增，且 ， ，
经比较，知此时 在 上的最大值为 .
④当 时，结合图形可知 在 ， 上递减，
在 ， 上递增，且 , ，
经比较，知此时 在 上的最大值为 .
当 时，结合图形可知 在 上递减，在 上递增，
故此时 在 上的最大值为 .
综上所述，当 时， 在 上的最大值为 ；
当 时， 在 上的最大值为 ；
当 时， 在 上的最大值为0.
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