2014-2015学年度湖北省部分高中12月调考
高三数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2、复数 ，其中 是虚数单丝，则复数 的模为（ ）
A． B． C． D．2
3、已知 ，其中 ，则 可能是（ ）
A． B． C．2或 D．-1或
4、等比数列 的前n项和为 ，则公比 为（ ）
A．1 B． C．1或 D．-1或
5、函数 是R上的偶函数，且 ，当 时， ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．
6、等差数列 中， 为数列 的前n项和，若 ，则 的最大值为（ ）
A．2003 B．400 C．4006 D．4007
7、一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
8、从 这20个数中任取2个不同的数，则这两个数
之和为3,的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9、设 满足约束条件 ，若 的最小值为 ，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
10、设曲线 在点 处的切线为 ，曲线 在点 处的切线为 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、如图是一个算法的程序框图，若输入的 的值为2，
则输出的 的值是
12、已知 为抛物线 上不同的五个点，交点
为 ，且 ，则
13、设 为 的两条互相垂直的弦，
垂足为 ，则四边形 面积的最大值为
14、 中， ，过点A作BC边上的高AD，则 ，请利用上述结论，类比推出，在空间四面体 中，若 两两垂直， 到平面 的距离为 ，则
（二）选做题（考生在第15、16题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分）
15、（几何证明选讲）PA是 的切线A为切点，直线PO交 于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交 于点E，若 ，则
16、（坐标系与参数方程）在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立坐标系，已知直线 与曲线 为参数）相交于 两点，若 为线段 的中点，则直线 的斜率为
三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
设 三个内角 所对的边的长分别为 ，若 成等比数列，且
（1）求角 的大小；
（2）设 ，当 取最小值时，判断 的形状。
18、（本小题满分12分）
设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 恰是等比数列 的前三项。
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）记数列 的前n项和为 ，若对任意的 ， 恒成立，
求实数 的取值范围。
19、（本小题满分12分）
某公司从某大学招收毕业生，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下这道乙部门工作，成绩高于180分的男生才能担任助理工作。
（1）如果用分层抽样的方法从甲部门入选和乙部门入选中选取8人，再从这8人中选3人，那么只好有一人是甲部门入选的概率是多少？
（2）若从所有甲部门入选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的概率分布列及数学期望。
20、（本小题满分13分）
四面体 中， 是正三角形， 是等腰直角三角形，其中 ，二面角 的平面角的余弦值为 。
（1）求点A到平面 的距离；
（2）设 是 的中点， 为 内的动点（含边界），且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围。
21、（本小题满分14分）
已知 的两个顶点 则坐标分别是 ，且 所在直线的斜率之积为
（1）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）当 时，过点 的直线 交曲线E与 两点，设点 关于 轴的对称点是 不重合），直线 与 轴的交点是定点吗？若是求出此定点坐标；若不是，请说明理由。
22、（本小题满分14分）
已知函数
（1）若函数 在 处取得最大值，求 的值；
（2）若 时，函数 图象上的点都在 所表示的区域内，求 的取值范围；
（3）证明 。
2014—2015学年度湖北省部分高中12月调考
高三数学（理科）参考答案
一、选择题（共50分）
1—5 CBBCA 6—10 CBABD
二、填空题（25分）
11、 12、10 13、5
14、 15、 16、
三、解答题（共75分）
（Ⅱ） …………………8分
故当 时， 取最小值…………………………………9分
又 …………………………………………………………10分
故 ………………………………………………………………11分
， 为等边三角形………………………………12分
18、解：（Ⅰ）
……………………………1分
相减，得
…………………………………………………2分
又 ………………………………………3分
又 ，即 ，解得 ……………4分
又 ，故 ……………………………………5分
，故数列 为首项，2为公差的等差数列，
故 ………………………………………………………………6分
易知 ， ……………………………………7分
（Ⅱ） …………………………………………8分
恒成立，
即 对 恒成立……………………………………………9分
令 ，则
故 时， ， 时， ，
最大…………………………………………………………11分
…………………………………………………………………12分
19、解：（Ⅰ）根据茎叶图知，甲部门人选有10人，乙部分人选也有10人，
故从20人中选8人，用分层抽样，知选中的甲部门人选4人，
选中的乙部门人选也是4人。……………………………………………3分
用A表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则 表示没有一名甲部门人选被选中，则：
，故至少有一人是“甲部门”的概率是 …………5分
（Ⅱ）据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3……………………………………………………………………………………………6分
， ，
， ………………………………10分
X的分布列为：
……………………………………12分
20、解：（Ⅰ） 中， ，故 …………1分
取 ………………2分
为二面角 的平面角，即 ……3分
由 ，故面 ，交线为GD。
故A到平面BCD距离即为点A到直线DG的距离。…………………4分
在 中， …………5分
的距离为 ，即A到平面BCD的距离为 …………6分
（Ⅱ）取 中点T，AC中点M，则平面 …………7分
上运动……………………………………………8分
于是AH在面BCD上的斜足轨迹为线段TC
由（Ⅰ）知
故 ………………………………………………………9分
故 ，
设AH与平面BCD成角为 ，由于点A到面BCD距离为 ，
故 ………………………………………………11分
即取值范围是 ……………………………………………12分
（说明：用向量法可同样给分）
21. 解：（Ⅰ）由题知：
化简得： ………………………………………2分
当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 两点；
当 时 轨迹 表示以 为圆心半径是１的圆，且除去 两点；
当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 两点；
当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的双曲线，且除去 两点；
……………………………………………………6分
的方程为 令 ，
得
直线 过定点 ……………………………13分
22、解：（Ⅰ） ，由 经检验符合题意…………3分
（Ⅱ）依题意知，不等式 恒成立。
令 ，当 ，有 ，
故 不合。…………………………………………………………………………4分
当 时，
令 …………………………………………5分
①当 时， ， 上恒成立，因此 上单调递减，
从而对任意的 ，总有 ，故 符合题意。………6分
②当 时， ，对于 ，
故 内单调递增，因此当取 时， ，不合。
综上， …………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）证明：当 时，不等式左边 右边，所以不等式成立。…………9分
当 时，在（Ⅱ）中取 ，得 …………………………10分
取 代入上式得 ………………12分
综上， ……………………………………………………14分
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