东北育才学校高中部2015届高三第三次模拟
数学试题（理科）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：高三数学备课组
第I卷（选择题-共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．若集合 ，则集合 不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 （ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列结论错误的是（ ）
A．命题：“若 ，则 ”的逆命题是假命题；
B．若函数 可导，则 是 为函数极值点的必要不充分条件；
C．向量 的夹角为钝角的充要条件是 ；
D．命题 ：“ ， ”的否定是“ ， ” ．
4．设 ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知在 中， ，以 为直径的圆分别交 于 ， 与 交于点 ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．定义在 上的函数 满足： 且 ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．已知不等式组 表示的平面区域恰好被圆 ： 所覆盖，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．6
8．函数 ，当 时下列式子大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．直线 与圆 相交于 两点，若满足 ，则 （ ）（ 为坐标原点）
A． B． C． D．
10．设 是 边 延长线上一点，记 ．方程 ，若在 上方程恰有两解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数 在 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 ，则对任意正整数 必有（ ）
A． B．
C． D．
12．给出以下四个命题中，真命题的个数为：（ ）
①． ．
②．函数 的图象可以由函数 的图象仅通过平移得到．
③．函数 与 是同一函数．
④．在 中，若 ，则 ．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中的横线上。
13．若 成等差数列，则 的值等于________．
14． 中， 分别是角 的对边，若 ，且 ，则 的值为________．
15．在 中， ， ， ， 是 的内心，若 （其中 ），则动点 的轨迹所覆盖的面积为________．
16．若 满足 ，则 的值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在 中，角 的对边分别为 ，且 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
18．（本小题满分12分）
已知首项都是 的数列 （ ）满足 ．
（1）令 ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 为各项均为正数的等比数列，且 ，求数列 的前 项和 ．
19．（本小题满分12分）
如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD， ， ， ，点E为线段AB上异于 的点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如图2．
（1）求证：AB∥平面DFC；
（2）当三棱锥F-ABE体积最大时，求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 ： ， 分别为 的左右焦点， ，且离心率 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过椭圆右焦点 的直线 和椭圆交于两点 ，是否存在直线 ，使得 与 的面积比值为 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（1）若曲线 与曲线 在交点处有共同的切线，求 的值；
（2）若对任意 ，都有 恒成立，求 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，求证： ．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
23．（本小题满分10分）（选修4-4：极坐标系与参数方程）
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
24．（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）
设函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的范围．
东北育才学校高中部2015届高三第三次模拟数学试题（理科）
参考答案
选择 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C B D A D C B D B B
填空 13 14 15 16
答案
12．
提示：①②为真命题，③④为假命题，其中③的两个函数的定义域不同，④ ．
17．（本小题满分12分）
（1） ；
（2） ．
18．（本小题满分12分）
（1） ；
（2） ， ．
19．（本小题满分12分）
（1）略；
（2）当 时，三棱锥F-ABE的体积最大，
平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值为 ．
20．（本小题满分12分）
（1） ；
（2）存在，直线 的方程为 或 ．
21．（本小题满分12分）
（1） ，切点坐标为 ；
（2） ；
（3） 等价于 ．
设 ，则 ．
设 ，则 ．
从而可得 ，即 ．
22．略
23．（本小题满分10分）（选修4-4：极坐标系与参数方程）
（1）直线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ；
（2）
24．（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）
（1）不等式 的解集为 ；
（2）不等式 等价于不等式 ，实数 的范围为 ．
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