2014-2015学年度湖北省部分高中12月调考
高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、复数 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、已知集合 只有一个真子集，则实数 的值为（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或-4
4、设函数 是定义在R上的奇函数，对任意 都有 ，当 时， ，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
5、设 是两个非零向量，则“ 的夹角为钝角”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、已知某几何体的三视图如上图所示（单位： ），则该几何体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
7、执行如上图所示的程序框图，若 ，则输出的结果为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8、已知 ，在此范围内任取数对 ，能使函数 ，有三个不同零点的概率是（ ）
A． B． C． D．
9、已知 成等差数列，则直线 被曲线 截得的弦长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
10、定义：如果函数 在 上存在 ，满足 ， ，则称函数 在 上的“双中值函数”，已知函数 是 上的“双中值函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、已知平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为
12、已知函数 和 的图象都过点A，且点A在直线 上，则 的最小值为
13、若点 是抛物线 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则 的值
是
14、已知 满足 ，则 的取值范围是
15、已知 分别是双曲线 的左右焦点， 为双曲线左支上任意一点，若 的最小值为 ，则双曲线的离心率的范围为
16、定义映射 ，其中 ， ，已知对所有的有序正整数对 满足条件：① ；②若 ；③ ，则 ；
17、给出下列命题：
①函数 为偶函数；②函数 是周期函数；③函数 的零点有2个；
④函数 在 上恰有两个零点 ，且 。
其中真命题的序号为
三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18、（本小题满分12分）
设函数 ，已知当 取得最大值为 。
（1）求 的值；
（2）设 ，求核黄素 在 上的最小值。
19、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，
平面 。
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 满足 ，求 与平面 所成角的正切值。
20、（本小题满分13分）
已知数列 的前n项和 ，数列 满足 且
（1）求 ；
（2）设 为数列 的前n项和，求 ，并求满足 时， 的最大值。
21、（本小题满分14分）
已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的长轴的两个端点（ 位于 右侧）， 是椭圆在 轴正半轴上的顶点，点 是椭圆 的右焦点，点 是 轴上位于 右侧的一点，且满足 。
（1）求椭圆 的方程以及点 的坐标；
（2）是否存在经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点 和 ，使得向量 与 共线？如果存在，求出直线 的方程，如果不存在，说明理由。
22、（本小题满分13分）
已知函数 为常数）
（1）若 的图象在 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数 的图象与 的图象交点的个数；
（3）当 时， 恒成立，求 的取值范围。
2014—2015学年度湖北省部分高中12月调考
高三数学（文科）参考答案
19、解答：（Ⅰ）如图，在直角梯形ABCD中，过点C作 于点F，
则四边形ADCF为矩形，所以AF＝DC＝2.
又AB＝4，所以BF＝2。在Rt 中，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ………………………………（4分）
又 ，所以
因为 ，所以 ………………………（6分）
（Ⅱ）如图，在平面MAC中，过点E作 于G，连接DG，
则 为DE与平面ABCD所成角，……………………………（7分）
因为 ，所以 ，
在三角形 中， ，
由余弦定理求得 ，…………………………………………（10分）
在Rt 中， ，
故DE与平面ABCD所成角的正切值为 。………………………（12分）
20、
…………………………（2分）
…………………………（4分）
……………………………………………（6分）
…………………………………（7分）
…………………………………（8分）
…………………………………………………（10分）
……………………（11分）
………………………………………………（13分）
. ………………………（8分）
令 ，
易得 ，
，
由题知 ，
要使向量 共线，则 ，即 ，但不满足 ，
故不存在符合题意的直线 ……………………………………………（14分）
22、解：（Ⅰ）由题意得 ，由题知
，
………………………………………………（4分）
（Ⅱ）由 ，可得 ，
，
则由题意函数 的图象与 的图象交点的个数等价于方程 实根的个数，即 根的个数。
等价于 的图象与直线 的交点个数，…………（6分）
，则 的变化情况如下表：
则函数 的极小值为 ，极大值为 ……………………（8分）
根据上面的讨论，作出 的
大致图象与直线 的位置如图，由图知，
当 时，函数 的图象与
的图象有三个不同交点；
当 时，函数 的图象与
的图象有两个不同交点；
当 时，函数 的图象与
的图象有1个交点。……………………………………（10分）
（Ⅲ）当 时，
恒成立，等价于 ，
即 上恒成立，
令 ，只需 。
，
令 ，故当 时， ，
单调递增；当 时， 单调递增。
， ，
因此b的范围是 .
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