金丽衢十二校2014-2015学年第一次联合考试
数学试卷(理科)
命题人：永康一中 审题： 浦江中学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知 ，下列命题正确的是
A．若 ， 则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3. 已知 为等比数列，则“ ”是“ 为递减数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若 ，则 ； ②若 ，则 ；
③若 则 ； ④若 ，则 ．
其中的正确命题序号是
A．③④ B．②④ C．①② D． ①③
5． 已知 为数列 的前 项和，且满足 ， ， ，则
A． B． C． D．
6．函数 （ ）的图像关于点 对称，则 的增区间
A． B．
C． D．
7. 已知 有两个不同的零点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 长方体 的底面是边长为 的正方形，若在侧棱 上至少存在一点 ,使得 ,则侧棱 的长的最小值为
A. B. C. D.
9.已知 分别为双曲线 的左右焦点，如果双曲线右支上存在一点 ,使得 关于直线 的对称点恰在 轴上，则该双曲线的离心率 的取值范围为
A. B. C. D.
10.设实数 满足 若 的最大值和最小值分别为 ，则 的值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.
11．设 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 .
12．已知 则 .
13. 设直线 与圆 相交于点 , 两点， 为坐标原点，且 ，则实数 的值为 .
14.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为 .
15.已知
若 ，则 .
16.已知 是边长为 的正三角形， 为
的外接圆 的一条直径， 为 的
边上的动点，则 的最大值为 .
17. 点 为椭圆 在第一象限的弧上任意一点，过 引 轴， 轴的平行线，分别交直线 于 ，交 轴， 轴于 两点，记 与 的面积分别为 ，当 时， 的最小值为 .
三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
18.（本题满分14分）
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知△ABC的面积 .
（Ⅰ）求 与 的值；
（Ⅱ）设 ,若 ,求 的值.
19.（本题满分14分）
设数列 的前 项的和为 ，且 是等差数列，已知 .
（Ⅰ）求 的通项公式 ；
（Ⅱ）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
20. （本题满分14分） 如图，四边形 为菱形， 为平行四边形，且面 面 ， ,设 与 相交于点 , 为 的中点.
（Ⅰ）证明: 面 ;
（Ⅱ）若 与面 所成的角为 ,求二面角 的平面角余弦值的大小.
第21题图
21.（本题满分15分）已知抛物线 的焦点到准线的距离为2.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）如图所示，直线 与抛物线 相交于 , 两点， 为抛物线 上异于 , 的一点，且 轴，过 作 的垂线，垂足为 ,过 作直线 交直线 于点 ,设 的斜率分别为 ，且 .
（ⅰ）线段 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;
（ⅱ）求证: 四点共圆.
22. （本题满分15分）已知二次函数 为偶函数, ， .关于 的方程 有且仅有一根 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若对任意的 , 恒成立, 求实数 的取值范围;
(Ⅲ)令 ,若存在 使得 ,求实数 的取值范围.
金丽衢十二校2014-2015学年第一次联合考试
数学试卷(理科)参考答案
一、选择题(5×10=50分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B A D C B B D
二、填空题(4×7=28分)
11. 1 12. 13. 14. 15. 16. 17.
三.解答题(72分)
18解: （Ⅰ）由题意可得:
所以 又因为 解方程组可得:
-----------------------------7分
（Ⅱ）易得
所以 .-----------------------------7分
19. 解: （Ⅰ）由题意可得 , ,
当 时也成立,
-----------------------------6分
（Ⅱ）
-----------------------------10分
解法一：
设
当 时，
当 时，
的最小值为 , .
-----------------------------14分
解法二：
设 则 = （当 ，即 时取最小值）
20.（Ⅰ）
证明： 四边形 为菱形
又 面 面
即
又 为 的中点,
又
面
——————————5分
（Ⅱ）
过 作 的垂线，垂足为 ，连接
易证得 为 与面 所成的角， =
为二面角 的平面角
所以由余弦定理可得： .
21.解: （Ⅰ） ——————————4分
（Ⅱ）设 ,则 ,直线 的方程为：
由 消元整理可得：
所以 可求得：
——————6分
直线 的方程为： 所以可求得 所以 = = =4.——————9分
的中点
则 的中垂线方程为：
与BC的中垂线 轴交点为： 所以 的外接圆的方程为：
——————12分
由上可知
所以 四点共圆.————————————15分
解法二：易知 的外接圆圆心 在 轴上
作 关于 的对称点 ,则 为直径，
易知 横坐标为
所以
所以 所以 四点共圆.
22. 解: (Ⅰ) 由
由 可得： 代入 得： ①
②
联立方程①②解得： ， .—————3分
(Ⅱ)
当 时， ————————4分
当 时，
——————————7分
(Ⅲ)由题意可知 ——————————9分
由 ， 易证明 在 上恒成立，
在 上恒成立；
由(Ⅱ)知 在 上恒成立
在 上恒成立.
又因为当 时,
即 ,
.————————15分
另解：
，
设 ，显然 ，由下图易知：
，
∴ ，
.
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