广东省六校联盟2015届高三第三次联考
（文科）数学试题
本试卷共4页，20小题， 满分150分．考试用时120分钟
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数 的定义域为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线 的离心率 （ ）
A． B． C． D．
5．对于任意向量 、 、 ，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．等差数列 中， ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
8．圆 关于直线 对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图1所示．若一个平行于圆锥底面的
平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分，则截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面上的线段 及点 ，在 上任取一点 ，线段 长度的
最小值称为点 到线段 的距离，记作 ．设 是长为2的线段，
点集 所表示图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11．已知 ， ，则 ________．
12．若 ，则“ 成立”是“ 成立”的________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．
13．如图2，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，
1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域 （图中白色部分）．
若在此三角形内随机取一点 ，则点 落在区域 内的概率为________．
14．已知函数 ，若关于 的不等式 有解，
则实数 的取值范围为________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本小题满分12分）
已知函数 的部分图象
如图3所示，其中点P是图象的一个最高点．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知 ，且 ，求 ． 图3
16．（本小题满分12分）
某种零件按质量标准分为 五个等级．现从一批该零件中随机抽取 个，对其等
级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
频率
（1）在抽取的 个零件中，等级为 的恰有 个，求 ；
（2）在（1）的条件下，从等级为 和 的所有零件中，任意抽取 个，求抽取的 个零件等级恰好相同的概率．
17．（本小题满分14分）
如图4，在四棱锥 中， ， ，且 平分 ， 为 的中点， , ， ．
（1）证明： ；
（2）证明： ；
（3）求三棱锥 的体积．
图4
18．（本小题满分14分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ， （ 且 ）．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19．（本小题满分14分）
已知函数 ，其中 为常数，且 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；
（2）若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值．
20．（本小题满分14分）
设 , 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线交椭圆 于 , 两点, 到直线 的距离为 ,连接椭圆 的四个顶点得到的菱形面积为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ，设 是椭圆 上的一点，过 、 两点的直线 交 轴于点 ,若 , 求 的取值范围；
（3）作直线 与椭圆 交于不同的两点 , ,其中 点的坐标为 ,若点 是线段 垂直平分线上一点,且满足 ,求实数 的值．
广东省六校联盟2015届高三第三次联考
（文科）数学试题参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A D D C A C D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11． 12．充要 13． 14．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．解：（1）由函数最大值为2 ，得A=2，………………………………………………1分
由图可得周期 ，………………………………………………2分
由 ，得 ． ………………………………………………3分
． ………………………………………………5分
（2） ，………………………．8分
．………………12分
16．解：（1）由频率分布表得 ，即 ． ………………2分
由抽取的 个零件中，等级为 的恰有 个，得 ． ………………4分[
所以 ． …………………………………………………5分
（2）解：由（1）得，等级为 的零件有 个，记作 ；等级为 的零件有 个，记作 ．从 中任意抽取 个零件，所有可能的结果为：
共计 种．……9分
记事件 为“从零件 中任取 件，其等级相等”．
则 包含的基本事件为 共4个． …………………………11分
故所求概率为 ． ……………………………………………………………12分
17．解：（1）证明：如图，设 ，连接 ，因为 ，且DB平分 ，
所以 为 中点，又因为E为PC的中点，所以 为 的中位线，所以 ，
又因为 平面 ，所以 ．………………………………………4分
（2）证明：因为 ，且DB平分 ，所以 ，又 ，
，所以 ，又因为 ，
且 平面 、 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ．………………………………………8分
（3）由（2）知 ，又因为 、 ，
所以 ，所以 ；……………………………11分
又因为 ， ， 为 中点，
所以 到平面 的距离为 ；………………13分
所以 ，
即三棱锥 的体积为 ．…………………………………………………14分
18．解：（1） 由题 ……① ……②
由① ②得： ，即 ，…………………………4分
当 时， ， ， , ，………………………… 5分
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 （ ）．………………… 6分
（2）由（1） （ ），
所以 ，…………………… 10分
所以
． …………………………………… 14分
19．解： ( ) …………………………… 2分
（1）因为曲线 在点（1， ）处的切线与直线 垂直，
所以 ，即 ……………………………………4分
（2）当 时， 在（1，2）上恒成立，这时 在[1，2]上为增函数,
．…………………………………………………………………6分
当 时，由 得， ，
对于 有 在[1，a]上为减函数，
对于 有 在[a，2]上为增函数，
． ……………………………………………………………8分
当 时， 在（1，2）上恒成立，这时 在[1，2]上为减函数，
．……………………………………………………………10分
于是，①当 时， ；……………………11分
②当 时， ，令 ，得 ；……………………12分
③当 时， ．……………………13分
综上所述， ．………………………………………………………………………14分
20．解：（1）设 , 的坐标分别为 ,其中 ，由题意得 的方程为:
因 到直线 的距离为 ,所以有 ,解得 ……………2分
所以有 ……①由题意知: ,即 ……②
联立①②解得: ，所求椭圆 的方程为 ………………………………4分
（2）由(1)知椭圆 的方程为 ，设 , ，由于 ,
所以有 ， ……………………………7分
又 是椭圆 上的一点,则 ，所以
解得： 或 ……………………………………………………………8分
（3）由 , 设 ，根据题意可知直线 的斜率存在，可设直线斜率为 ,则直线 的方程为 ，把它代入椭圆 的方程,消去 ,整理得:
由韦达定理得 ,则 ,
所以线段 的中点坐标为 ……………………………………………………10分
(i)当 时, 则有 ,线段 垂直平分线为 轴，于是
由 ,解得: ……………………………………………11分
(ii) 当 时, 则线段 垂直平分线的方程为
因为点 是线段 垂直平分线的一点，令 ,得: ，
于是 ，由 ,
解得: ，代入 ,解得: ，
综上, 满足条件的实数 的值为 或 ． ……………………………………14分
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