秘密★考试结束前 【考试时间：1月 3日14:30—16:30 】
贵州省七校联盟2015届高三第一次联考试卷
文科数学
命题学校：清华中学
联考学校：贵阳六中 清华中学 遵义四中 凯里一中 都匀一中 都匀二中 安顺一中
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。
2．选择题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
第I卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知集合 则 的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2. 复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3. 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的两倍，则实数 的值是（ ）
A．4 B．
C． D．-4
4. 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）
A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤
5. 设直角三角形的直角边长x,y均为区间 内的随机数，则斜边长小于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
6. 已知函数 的图像如图所示，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
7. 在 中， 是边 上的一点，且 则 的值为（ ）
A．0 B．4 C．8 D．-4
8. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ）
①“若 则 中至少有一个不小于1”的逆命题。
②存在正实数 ，使得
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”。
④在 中， 是 的充分不必要条件。
A．0 B．1 C．2 D．3
9. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，终边在直线 上，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．-1 B．1
C．-2 D．2
11. 一个平行四边形的三个顶点的坐标为 ，点 在这个平行四边形的内部或边上，则 的最大值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．36
12. 已知圆C的方程 ，P是椭圆 上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
第 II 卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知扇形AOB（ 为圆心角）的面积为 ，半径为2，则 的面积为 ，
14. 某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 .
15. 已知椭圆 与抛物线 有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且 轴,则椭圆的离心率是
16. 已知函数 若函数 有3个零点，则实数k的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知 是等差数列， 是等比数列， 为数列 的前n项和，
且
（1） 求 和
（2） 若 ，求数列 的前n项和
18. （本小题满分12分）
如图，几何体 中， 为边长为 的正方形， 为直角梯形， ， ， ， ， ．
（1）求证:
（2）求几何体 的体积．
19. （本小题满分12分）
从某校高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： 后得到如下图的频率分布直方图。
(1) 若该校高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分；
(2)若从 这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率。
20. （本小题满分12分）
已知函数
(1) 当 时，求 在区间 上的最值；
(2) 讨论函数 的单调性
(3) 当 时，有 恒成立求 的取值范围
21. （本小题满分12分）
已知中心在原点 ，左焦点为 的椭圆C的左顶点为 ，上顶点为 ， 到直线 的距离为 .
(1) 求椭圆C的方程；
(2)若椭圆 方程为： （ ），
椭圆 方程为： （ ，且 ），则称椭圆 是椭圆 的 倍相似椭圆.已知 是椭圆C的 倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线 交椭圆 于两点 、 ，试求弦长 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图5，⊙O1和⊙O2 公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点。
（1）求证： ～ ；
（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求 的值。
23. （本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
已知在一个极坐标系中点C的极坐标为 。
（1）求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形
（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点, 极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点， ， 是线段 的中点，当点P在圆C上运动时，求点 的轨迹的普通方程。
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 。
(Ⅰ)当 时,求不等式 的解集；
(Ⅱ)若 对 恒成立,求实数a的取值范围。
贵州省六校联盟2015届高三第一次联考试卷
（文科数学）参考答案及评分细则
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B B A A B C D A C C
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13、 14、 25 15、 16、
三、解答题：（ 共70分。）
17、解：（1）由题意 3分
所以 6分
（2）若 ，由（1）知 ， 8分
10分
12分
18、（1）证明：由题意得， ， ，且 ，
∴ 平面 ， ∴ ， ………………2分
∵四边形 为正方形. ∴
由 ∴ ∴ ………………4分
又∵四边形 为直角梯形， ， ， ，
∴ ， 则有 ∴
由 ∴ ∴ ……………6分
（２）连结 ，过 作 的垂线，垂足为 ，
易见 平面 ，且 .…………8分
∵ ……………9分
……………11分
∴ 几何体 的体积为 …………12分
解法二：（传统几何法）略
19、（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以 ． …………………………1分
解得 ． ………………………………………………………………………2分
根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为 ．……3分
由于高三年级共有学生640人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为 人． ………………………………………4分
可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为:
45× +55× +65× +75× +85× +95× =74 ………………6分
（2）解：成绩在 分数段内的人数为 人， ……………… 7分
成绩在 分数段内的人数为 人， ……………………………………8分
若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有 种 ………………… 9分
如果两名学生的数学成绩都在 分数段内或都在 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在 分数段内，另一个成绩在 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．……… 10分
则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7种 …… 11分
所以所求概率为 ． ………………………………………………………12分
20、解：（1）当 时， ，∴ ------1分
∵ 的定义域为 ，∴由 得 ． ------------------2分
∴ 在区间 上的最值只可能在 取到，
而 ， -----------------3分
∴ ． -----------------4分
（2） ．
①当 ，即 时， 在 单调递减；-------------5分
②当 时， 在 单调递增； ----------------6分
③当 时，由 得 或 （舍去）---7分
∴ 在 单调递增，在 上单调递减； ------------------8分
综上，当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 单调递增，在 上单调递减．
当 时， 在 单调递减； ---------------9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时，
即原不等式等价于 ---------------------10分
即 整理得
∴ ， ---------------------11分
又∵ ，所以 的取值范围为 . ------------------12分
21、解：(1)设椭圆 方程为： （ ），
所以直线 方程为： ………………………………………………1分
∴ 到直线 距离为 …… 2分
又 ， ………………………………………………3分
解得： ， ………………………………………………4分
故：椭圆 方程为： .………………………………………………… 5分
(2) 椭圆 的 倍相似椭圆 的方程为： ………………………………6分
①若切线 垂直于 轴，则其方程为： ，易求得 ………………7分
②若切线 不垂直于 轴，可设其方程为：
将 代人椭圆 方程，得：
∴ （*）…8分
记 、 两点的坐标分别为 、
将 代人椭圆 方程，得： ……………9分
此时： ， …11分
∴ …11分
∵ ∴ 即
综合①②,得：弦长 的取值范围为 .………………………………………12分
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
（1）证明：∵AD是两圆的公切线，
∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH,
∴DE×DG= DF×DH, ∴ ，
又∵∠EDF=∠HDG，
∴△DEF∽△DHG。………………………4分
（2）连结O1 A，O2A，∵AD是两圆的公切线，
∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，
∴O1O2共线，
∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD2= O1A×O2A，………………………8分
设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，
∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴ 。………………………10分
23.解:(1)如图,设圆C上任意一点 …2分
由余弦定理得: ∴ 圆C的极坐标方程 …4分
作图………….5分
(2)在直角坐标系中,点C的坐标为 ,可设圆C上任意一点
又令 由 , 是线段 的中点 ………….7分
∴M的参数方程为: ………….9分
∴点 的轨迹的普通方程为: … ……….10分
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