衡阳市八中2015届高三上学期第六次月考试题
数学（文）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2． 是直线 和直线 垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．执行下面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 ( )
A．120 B．720 C．1440 D．5040
4．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列 中 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6.下面四个命题中真命题的是（ ）
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在回归直线方程 ＝0.4x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；
④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大.
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
7.若 则 =（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
8.若函数 存在极值，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.给出下列命题,其中正确命题的个数为：（ ）
①在区间 上，函数 ， ， ， 中有三个增函数；
②若 ，则 ；
③若函数 是奇函数，则 的图象关于点 对称；
④若函数 ，则方程 有两个实数根.
A.1 B.2 C.3 D.4
10.在△ABC中，a、b、c分别是内角A,B,C所对的边，C= ,若 且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则 △ABC周长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．
11．设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为________。
12．在边长为2的正△ABC中，则 _________。
13.设 ，其中实数 满足 ，若 的最大值为12，则实数 _______。
14．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________。
15．若函数f（x）为定义域D上的单调函数,且存在区间 （其中a<b）,使得当x∈[a,b]时,f（x）的取值范围恰为[a,b],则称函数f（x）是D上的“正函数”,若 是 上的正函数，则实数k的取值范围是 。
三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数 sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）将函数 图像向右平移 个单位得到函数 的图像，若 ，且 ，求 的值．
17．（本小题满分12分）某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：
分组 频数 频率
[45，60） 2 0．04
[60，75） 4 0．08
[75，90） 8 0．16
[90，105） 11 0．22
[105，120） 15 0．30
[120，135） a b
[135，150] 4 0．08
合计 50 1
（1）写出a、b的值；
（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；
（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分， 乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．
18.（本小题满分12分）如图一， 是正三角形， 是等腰直角三角形， .将 沿 折起，使得 与 成直二面角 ，
如图二，在二面角 中
（1）求证： ；
（2）求 、 之间的距离；
（3）求 与面 所成的角的正弦值。
19．（本小题满分13分）已知圆C的方程为：
（1）求 的取值范围；
（2）若圆C与直线 交于M、N两点，且 ，求 的值.
（3）设直线 与圆 交于 ， 两点，是否存在实数 ，使得以 为直径的圆过原点，若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分13分）已知等比数列{an}的公比 ，前n项和为Sn，S3＝7，且 ， ， 成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn， ，其中 N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设 ， ， ，求集合C中所有元素之和．
21．（本小题满分13分）若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其定义域上的任意实数 分别满足： 和 ，则称直线 为 和 的“隔离直线”．已知 ， 为自然对数的底数）．
（1）求 的极值；
（2）函数 和 是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
衡阳市八中2015届高三第六次月考文科数学参考答案
一选择题：
1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B
二填空题：
11. 12. 13. 14. 15.
三解答题：
16.（Ⅰ）因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f（x）为偶函数，所以φ＝ ，则 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）＝cosx．得
g（ ）= cos（ - ）= ，
= = cos（ - ）=
17.（1）6、0.12 2分
（2）成绩在120分以上的有6＋4＝10人，
所以估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有： 人. 6分
（3）[45，60）内有2人，记为甲、A．[135，150]内有4人，记为乙、B、C、D．
法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．
其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一组的概率为. 12分
（法二：乙可能和甲或和A分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为）
18:⑴ 面 面 ，面 面 ， 面 ，
面 ，又 面 ………4分
⑵ 面 ， 面
在 中， ，
…………8分
⑶取 的中点 ，连结 、 和
是正三角形
，又 面 面
面 ，即 是 在面 内的射影
则 为直线 与面 所成的角 …………10分
，
故直线 与面 所成的角的正弦值为 . …………12分
19解 ：（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5． 3分
（2） ，即 ，
所以圆心C（1,2），半径 ， 4分
圆心C（1,2）到直线 的距离 5分
又 ， ，即 ， ． 6分
（3）假设存在实数 使得以 为直径的圆过原点，则 ，设 ，则 ， 7分
由 得 ， 8分
，即 ，又由（1）知 ，
故 9分
10分
11分
12分
故存在实数 使得以 为直径的圆过原点， ． 13分
20.（1）∵ ，∴ ①
∵ ， ， 成等差数列，∴ ② 2分
②－①得， 即 ③
又由①得， ④
消去 得， ，解得 或 （舍去）
∴ 4分
（2）当 N*时， ，当 时，
∴当 时， ，即 6分
∴ ， ， ， ，
∴ ，即
∵ ，∴
故 N*） 9分
（3） ， 11分
∵A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，
∴集合C中所有元素之和 13分
21．（1） ，
．
当 时， ． ------3分
当 时， ，此时函数 递减；
当 时， ，此时函数 递增；
∴当 时， 取极小值，其极小值为 ．
（2）解：由（1）可知函数 和 的图象在 处有公共点，因此若存在 和 的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为 ，则直线方程为 ，即 ．
由 ，可得 当 时恒成立．
， 由 ，得 ．
下面证明 当 时恒成立．
令 ，则
， 当 时， ．
当 时， ，此时函数 递增；
当 时， ，此时函数 递减；
∴当 时， 取极大值，其极大值为 ．
从而 ，即 恒成立
∴函数 和 存在唯一的隔离直线 ．
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