枣庄三中2015届高三第二次(1月)学情调查
理科数学
一、选择题:(本大题共l0小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的.)
1.已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.设等比数列 中,前n项和为 ,已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 下列说法中正确的是 ( )
A.若命题 有 ,则 有 ;
B.若命题 ,则 ;
C.若 是 的充分不必要条件,则 是 的必要不充分条件;
D.方程 有唯一解的充要条件是
4. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ( )
A.48cm3 B.98cm3
C.88cm3 D.78cm3
5.将函数 的图像向右平移 个单位,再向上平移1个单位,所得函数图像对应的解析式为 ( )
A. B. C. D.
6.若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
7.函数 的部分图像如图所示,则 的解析式可以是 ( )
A. B.
C. D.
8.若 ,则向量 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
9.已知 , 是双曲线 的左,右焦点,若双曲线左支上存在一点 与点 关于直线 对称,则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
10.已知定义域为R的函数 (a、b∈R)有最大值和最小值,且最大值与最小值的和为6,则3a-2b= ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 1
第Ⅱ卷 非选择题(共100分)
二.填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)
11.若 对任意的 恒成立,则实数 的取值范围为 .
12.观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律,第 个等式为 .
13.已知 满足约束条件 若目标函数 的最大值为7,则 的最小值为_______.
14.在直角三角形 中, , , ,若 ,则 .
15.已知抛物线 : 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, 是直线 与 的一个交点,若 ,则 = .
三.解答题:(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分12分)
在 中,角 所对的边为 ,且满足
(1)求角 的值;
(2)若 且 ,求 的取值范围.
17. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系 中,点 ,直线 ,设圆 的半径为 ,圆心在 上.
(1)若圆心 也在直线 上,过点 作圆 的切线,求切线的方程;
(2)若圆 上存在点 ,使 ,求圆心 的横坐标 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.
(1)求证:BD⊥FG;
(2)当二面角B—PC—D的大小为 时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.
19.(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和为 ,且
(1)求数列 的通项公式;
(2)数列 中,令 , ,求 .
20.(本小题满分13分)
已知点 在椭圆 上,椭圆 的左焦点为(-1,0)
(1)求椭圆 的方程;
(2)直线 过点 交椭圆C于M、N两点,AB是椭圆 经过原点 的弦,且MN//AB,问是否存在正数 ,使 为定值?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分14分)
设函数 .
(1)若函数 在 上为减函数,求实数 的最小值;
(2)若存在 ,使 成立,求实数 的取值范围.
高三第二次学情调查理科数学参考答案2015.1
一.选择题:DACBC DCDAC
二.填空题:
11. ;12.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2; 13.7; 14. ; 15.3
三.解答题:
16.(本小题满分12分)
解:(1)由已知
得 ……………………………………………………………3分
化简得 ………………………………………………………………………………………………5分
故 .………………………………………………………………………………………………6分
(2)因为 ,所以 ,……………………………………………………………………………7分
由正弦定理 ,得 ,
故 ……9分
因为 ,所以 , ,……………………………………………………10分
所以 . ……………………………………………………12分
17.(本小题满分12分)
解:(1)由 得圆心C为(3,2),∵圆 的半径为
∴圆 的方程为: …………………………………………………1分
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为 ,即
∴ ∴ ∴ ∴ 或者
∴所求圆C的切线方程为: 或者 即 或者 ………………6分
(2)解:∵圆 的圆心在在直线 上,所以,设圆心C为(a,2a-4)
则圆 的方程为: …………………………………………………8分
又 ∴设M为(x,y)则 整理得:
设为圆D…………………………………………………10分
∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即圆C和圆D有交点
∴ …………11分
解得, 的取值范围为: …………12分
18.(本小题满分12分)
解:方法一:(1) PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,其对角线BD,AC交于点E
∴PA⊥BD,AC⊥BD,
∵PA交AC与点A ∴BD⊥平面APC ………………………………………………………2分
∵FG 平面PAC,∴BD⊥FG ……………………………………………………………………4分
(2)作BH⊥PC于H,连接DH,∵PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,∴PB=PD,
又∵BC=DC,PC=PC,∴△PCB≌△PCD,∴DH⊥PC,且DH=BH,∴∠BHD是二面角B-PC-D的平面角.即 ………………………………………………………………………………………7分
∵PA⊥面ABCD,∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 …………………………………8分
连结EH,则 ,
而 , …………………………………………10分
……………………………………………………………………………………11分
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 ………………………………………………………12分
方 法二:(1)以A为原点,AB,AD,PA 所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设正方形ABCD的边长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)
D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0), …………1分
∵ , …………2分
∴BD⊥FG ………………………………………………………………………………4分
(2)设平面PBC的一个法向量为
则 ,而
,取 ,得 ,……………………8分
同理可得平面PDC的一个法向量 ,设 所成的角为 ,
则
即 …………………………………………10分
∵PA⊥面ABCD,∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角,
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 …………………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解:(1) ,∴ ………………………………………………………………1分
又当 时, ………… ……………………………………………………3分
所以 ……………………………………………………………………4分
(2)∵ ,∴ ,………………………………………………………6分
……………………………………………………………8分
,∴ …………………12分
20. (本小题满分13分)
解:(1)椭圆 的左焦点为 ,∴ ,椭圆 的右焦点为
可得 ,解得 , ……2分
∴ ∴椭圆 的标准方程为 ……………………4分
(2)设直线 ,且 ,由
得 ………… …6分
…………………………………………………………………………8分
由 得
设
得 得 ……………………10分
而
当 时
为定值,当 不存在时,定值也为4 ………13分
21.(本小题满分14分)
解:(1)由已知得x>0,x≠1.
因f (x)在 上为减函数,故 在 上恒成立. ………………1分
所以当 时, .
又 ,………………………………2分
故当 ,即 时, .
所以 于是 ,故a的最小值为 . ……………………………………………4分
(2)命题“若存在 使 成立”等价于
“当 时,有 ”. …………………………………………………5分
由(Ⅰ),当 时, , .
问题等价于:“当 时,有 ”. ………………………………………………6分
①当 时,由(1), 在 上为减函数,
则 = ,故 . ……………………………………………8分
②当 < 时,由于 在 上的值域为
(ⅰ) ,即 , 在 恒成立,故 在 上为增函数,
于是, ,矛盾.……………………………………………10分
(ⅱ) ,即 ,由 的单调性和值域知,
存在唯一 ,使 ,且满足:
当 时, , 为减函数;当 时, , 为增函数;
所以, , …………………………………………12分
所以, ,与 矛盾.………………… ……13分
综上,得 ………………………………………………………………………14分
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