2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷
2014.12
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.
2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.
3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1. 若集合 ， ，则 .
2. 若 ，则常数 .
3. 若 ，则函数 的最小值为 .
4. 函数 的单调递增区间是 .
5. 方程 的解 .
6. 如图，正三棱柱的底面边长为 ，体积为 ，则异面直线 与
所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
7. 若方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是 .
8. 函数 （ ）的反函数是 .
9. 在二项式 的展开式中，含 项的系数为 （结果用数值表示）.
10 .若抛物线 （ ）的焦点在圆 外，则实数 的取值范围是 .
11. 在 中，三个内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 .
12. 若无穷等比数列 的各项和等于公比 ，则首项 的取值范围是 .
13. 设 为大于 的常数，函数 ，若关于 的方程
恰有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是 .
14. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，
不同的取法共有 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
15．若 ，则下列不等式中，一定成立的是……………………………………………………（ ）
16. “点 在曲线 上”是“点 的坐标满足方程 ”的…………………………（ ）
充分非必要条件 必要非充分条件
充要条件 既非充分也非必要条件
17.要得到函数 的图像，只需将函数 的图像………………………………（ ）
向左平移 个单位 向右平移 个单位
向左平移 个单位 向右平移 个单位
18. 若在边长为 的正三角形 的边 上有 ( N*， )等分点，沿向量 的方向依次为 ，记 ，
若给出四个数值:① ② ③ ④ ，则 的值不可能的共有…………………（ ）
1个 2个 3个 4个
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
19. (本题满分12分)
已知 是椭圆 上的一点，求 到 （ ）的距离的最小值.
20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数 满足
（1）求实数 的值以及函数 的最小正周期；
（2）记 ，若函数 是偶函数，求实数 的值.
21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）（加工中不计损失）.
（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；
（2）若每块钢板的厚度为 mm，求钉身的长度（结果精确到 mm）.
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分
已知数列 的前 项和为 ，且 ， N*
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知 （ N*），记 ( 且 )，是否存在这样的常数 ，使得数列 是常数列，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
（3）若数列 ，对于任意的正整数 ，均有
成立，求证：数列 是等差数列；
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分
已知函数 ，若在定义域内存在 ，使得 成立，则称 为函数 的局部
对称点.
（1）若 R且 ，证明：函数 必有局部对称点；
（2）若函数 在区间 内有局部对称点，求实数 的取值范围；
（3）若函数 在R上有局部对称点，求实数 的取值范围.
2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷参考答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个
空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1. 2.1 3.3 4. （ ） 5.3
6. 7. 8.
9.28 10. 11. 12. 13. 14. 141
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
题号 15 16 17 18
答案 B B A D
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
19. (本题满分12分)
【解】设 ，其中 ……………………2分
则 = ……5分
，对称轴 ……7分
（1） 若 ，即 ，此时当 时， ；……9分
（2） 若 ，即 ，此时当 时， ；……11分
综上所述， …………12分
20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
【解】 （1）由 ，得 ……2分，解得 ……3分
将 代入 得
所以 ……4分
…………5分
所以函数 的最小正周期 …………6分
（2）由（1）得， ，所以 ……8分
函数 是偶函数，则对于任意的实数 ，均有 成立。
所以 …………10分
整理得， ……（﹡）………………12分
（﹡）式对于任意的实数 均成立，只有 ，解得 ，
所以 ， …………14分
21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
【解】设钉身的高为 ，钉身的底面半径为 ，钉帽的底面半径为 ，由题意可知：……1分
（1） 圆柱的高 ……2分
圆柱的侧面积 ……3分
半球的表面积 ……5分
所以铆钉的表面积 ( )……7分
（2） ……8分
……9分
设钉身长度为 ，则 ……10分
由于 ,所以 ，……12分
解得 ……13分
答：钉身的表面积为 ，钉身的长度约为 。
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分
【解】（1） ，所以 …………………………1分
由 得 时， ……2分
两式相减得， ， ，……3分
数列 是以2为首项，公比为 的等比数列，所以 （ ）……5分
（2）由于数列 是常数列
= ………………6分
为常数………………7分
只有 ,………………8分；解得 ,………………9分
此时 ……10分
(3) ……①
， ，其中 ，所以 …………11分
当 时， ……②……12分
②式两边同时乘以 得， ……③13分
①式减去③得， ，所以 ……14分
且 ……15分
所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列。……16分
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分
【解】（1）由 得 ……1分
代入 得， ，
得到关于 的方程 （ ），……2分
其中 ，由于 且 ，所以 恒成立……3分
所以函数 （ ）必有局部对称点。……4分
（2）方程 在区间 上有解，于是 ……5分
设 （ ）， ，……6分
……7分 其中 ……9分
所以 ……10分
（3） ，……11分
由于 ，所以 ……13分
于是 ……（*）在 上有解……14分
令 （ ），则 ，……15分
所以方程（*）变为 在区间 内有解，需满足条件：
……16分
即 ，化简得 ……18分
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