闸北区2014学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷
考生注意：
1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．
2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．
3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每
个空格填对得6分，否则一律得零分．
1．若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 ．
2．若 为 上的奇函数，当 时， ，则 ．
3．设定点 ，若动点 在函数 图像上，则 的最小值为 ．
4．用数字“ ”组成一个四位数，则数字“ ”都出现的四位偶数有 个．
5．设 ，圆 的面积为 ，则 ．
6．在 中， ， 是斜边 上的两个三等分点，则 的值为 ．
7．设函数 ，若存在 同时满足以下条件：①对任意的 ，都有 成立；② ，则 的取值范围是 ．
8．若不等式 的解集是区间 的子集，则实数 的取值范围为 ．
9．关于曲线 ，给出下列四个结论：
①曲线 是双曲线； ②关于 轴对称；
③关于坐标原点中心对称； ④与 轴所围成封闭图形面积小于2．
则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上）
二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确
的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.
10．“ ”是“关于 的二元一次方程组 有唯一解”的 【 】
A．必要不充分条件； B．充分不必要条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
11．已知等比数列 前 项和为 ，则下列一定成立的是 【 】
A．若 ，则 ； B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ； D．若 ，则 ．
12．对于集合 ，定义了一种运算“ ”，使得集合 中的元素间满足条件：如果存在元素 ，使得对任意 ，都有 ，则称元素 是集合 对运算“ ”的单位元素．例如： ，运算“ ”为普通乘法；存在 ，使得对任意 ，都有 ，所以元素 是集合 对普通乘法的单位元素．
下面给出三个集合及相应的运算“ ”：
① ，运算“ ”为普通减法；
② { 表示 阶矩阵， }，运算“ ”为矩阵加法；
③ （其中 是任意非空集合），运算“ ”为求两个集合的交集．
其中对运算“ ”有单位元素的集合序号为 【 】
A．①②； B．①③； C．①②③； D．②③．
三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）
请仔细阅读以下材料：
已知 是定义在 上的单调递增函数．
求证：命题“设 ，若 ，则 ”是真命题．
证明 因为 ，由 得 ．
又因为 是定义在 上的单调递增函数，
于是有 ． ①
同理有 ． ②
由① + ②得 ．
故，命题“设 ，若 ，则 ”是真命题．
请针对以上阅读材料中的 ，解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设 ，若 ，则： ”是真命题；
（2）解关于 的不等式 （其中 ）．
14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
如图，在海岸线 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 ，
该曲线段是函数 ， 的图像，图像的
最高点为 ．边界的中间部分为长 千米的直线段 ，且 ．游乐场的后一部分边界是以 为圆心的一段圆弧 ．
（1）求曲线段 的函数表达式；
（2）曲线段 上的入口 距海岸线 最近距离为 千米，现准备从入口 修一条笔直的景观路到 ，求景观路 长；
（3）如图，在扇形 区域内建一个平行四边
形休闲区 ，平行四边形的一边在海岸线 上，一边在半径 上，另外一个顶点 在圆弧
上，且 ，求平行四边形休闲区 面积的最大值及此时 的值．
15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）
已知 分别是椭圆 的左、右焦点，椭圆 过点
且与抛物线 有一个公共的焦点．
（1）求椭圆 方程；
（2）斜率为 的直线 过右焦点 ，且与椭圆交于 两点，求弦 的长；
（3） 为直线 上的一点，在第（2）题的条件下，若△ 为等边三角形，求直
线 的方程．
16．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
设数列 满足：① ；②所有项 ；③ ．
设集合 ，将集合 中的元素的最大值记为 ．换句话说， 是
数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值．我们称数列 为数列 的
伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．
（1）若数列 的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列 ；
（2）设 ，求数列 的伴随数列 的前100之和；
（3）若数列 的前 项和 （其中 常数），试求数列 的伴随
数列 前 项和 ．
理科答案
一．填空题：
； ； ； ； ；
； ； ； ②④
二．选择题：
三．解答题：
13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.
原命题的逆否命题：设 ，若 ，则： ……4分
下面证明原命题的逆否命题为真命题：
因为 ，由 得： ， …………………………1分
又 是定义在 上的单调递增函数
所以 …………（1） …………………………1分
同理有： …………（2） …………………………1分
由（1）+（2）得： …………………………1分
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题. …………………………1分
（2）由（1）的结论有： ，即： ………………………3分
①当 时，即 时，不等式的解集为： ……………2分
②当 时，即 时，不等式的解集为： ………2分
③当 时，即 时，不等式的解集为： ……………2分
14. 解：（1）由已知条件，得 ……………………………1分
又∵ ……………………………2分
又∵当 时，有 ……2分
∴ 曲线段 的解析式为 ． ………1分
（2）由 得
…………2分
又 …2分
……………………1分
∴ 景观路 长为 千米 ……………1分
(3)如图， ……………………………………1分
作 轴于 点，在 中， ……………1分
在 中， …………………1分
∴ ……………1分
…………………1分
…………………2分
当 时，即 时：平行四边形面积最大值为 …………………1分
15.解（1）由题意得 …………………2分
又 ，
得， ，解得 或 （舍去）， …………………2分
则 ， …………1分
故椭圆方程为 ． …………………1分
（2）直线 的方程为 ． …………………1分
联立方程组
消去 并整理得 ． …………………3分
设 ， ．
故 ， ． …………………1分
则 ． …2分
（3）设 的中点为 ．
可得 ， …………………1分
． …………………1分
直线 的斜率为 ，又 ，
所以 ． …………………2分
当△ 为正三角形时， ，
可得 ， …………………1分
解得 ． …………………1分
即直线 的方程为 ，或 ． …………………1分
16. 解：（1）1,4,7． ………………6分
（2）由 ，得
∴ 当 时， …………………………1分
当 时， …………………1分
当 时， …………………1分
当 时， ……………1分
当 时， ……………1分
∴ …………1分
（3）∵ ∴ …………………1分
当 时，
∴ …………………2分
由 得：
因为使得 成立的 的最大值为 ，
所以 ……1分
当 时：
…………………1分
当 时：
…………………1分
当 时：
…………………1分
所以 ……………1分
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