大冶一中 广水一中 天门中学
仙桃中学 浠水一中 潜江中学
2015届高三元月调考
数学（理科）试卷
命题学校：仙桃中学 命题教师：胡生淼
审题学校：潜江中学 审题教师：杨金锁
考试时间：2015年1月6日下午15：00—17：00 试卷满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.
3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设复数 满足 ，则 =( )
A. B. C. D.
2.设集合P＝{x| }，则集合P的非空子集个数是( )
A.2 B.3 C.7 D.8
3.下列结论正确的是( )
A.若向量 ，则存在唯一的实数 使得
B.已知向量 为非零向量，则“ 的夹角为钝角”的充要条件是“ ＜0”
C.命题：若 ，则 或 的逆否命题为：若 且 ，则
D.若命题 ，则
4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )
A. B.
C. D.
5.等比数列 的前n项和为 , ，则 =（ ）
A.27 B.81 C.243 D.729
6.设函数 的图像关于直线 对称,它的周
期是 ，则（ ）
A. 的图象过点
B. 的一个对称中心是
C. 在 上是减函数
D.将 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象
7．已知函数若x，y满足约束条件 目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF= ，则下列结论中错误的个数是 ( )
(1) AC⊥BE；
(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为 ；
(3) 三棱锥A-BEF的体积为定值；
(4) 在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条；
(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条.
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦
点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1 PF2，
则 的最小值为( )
A. B.4 C. D.9
10．已知 ， ，对任意的c＞1,存在实数 满足
，使得 ，则k的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.平面向量 与 的夹角为60°， =(2,0)，| |=1，则| +2 |＝ .
12.已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为 .
13.设正数 满足 ，则 .
14.已知两个正数 ，可按规则 扩充为一个新数c，在 三个数中取两
个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一
次操作．若 ，经过6次操作后扩充所得的数为 （m，n为正整数），
则 的值为 ．
(15，16为选做题，二选一即可)
15. 如右图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线 ，过A作直线 的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 ．
16.直线l的参数方程是 （其中t为参数），圆c的极坐标方程为
，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
17.(12分)在△ABC中，角A、B、C对应边分别是a、b、c，c=2,
.
（1）若 ，求△ABC面积；
（2）求 边上的中线长的取值范围.
18.(12分)已知数列 的前 项和为 ，常数 ，且 对一切正整数
都成立.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， ，当 为何值时，数列 的前 项和最大？
19.(12分)已知x∈[0，1]，函数 .
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a ≤-1，若 ，总存在 ，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围.
20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M-BQ-C为30°，设 =t ，试确定t的值.
21.(13分)如图，已知点 和圆 AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P(异于A、B)是圆O上的动点， 交AB于D， ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN| 为定值.
（1）求 的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）一直线L过定点S（4,0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
22.(14分)已知函数f(x)=ax+ +(1-2a)(a＞0)
（1）若f(x)≥㏑x在[1，∞)上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+ + +…+ ＞㏑（n+1）+ （n≥1）；
（3）已知S= ，求S的整数部分.（ ， ）
理科参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C C B A A C B
11. 12. 13. 14. 15. 4 16.
17. 解：①由题意知
由sinC+sin(B-A)=2sin(2A) => sinBcosA=2sinAcosA
（1）若cosA=0
（2）若cosA≠0 b=2a ……………………（6分）
②
……………………（12分）
18. 解：（1）令n=1，得 ，
若
若 ，
两式相减得 从而数列 为等比数列
所以
综上：当 ，当 ……………………（6分）
（2）当
所以数列 是单调递减的等差数列（公差为-lg2）
所以
当
所以数列 的前6项和最大。……………………（12分）
19. 解：（Ⅰ）f'（x）=2x- ，
令f'（x）=0，
解得： ，x=-1（舍去）……………………2分
列表：
x 0 （0， ）
（ ，1）
1
f '（x） - 0 +
f（x） ln2 ↘
↗ 1-ln
可知f（x）的单调减区间是（0， ），增区间是（ ，1）；……4分
因为 <1-ln =ln2-（ln3-1）<ln2，
所以当x [0，1]时，f（x）的值域为[ ，ln2]…………………6分
（Ⅱ）g'（x）=3（x2-a2）
因为a≤-1，x [0，1]所以g'（x）<0，…………………………8分
g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0），
所以g（x） [1-4a-3a2，-4a]…………………………………………10分
因为当x [0，1]时，f（x）的值域为[ ，ln2]
由题意知：[ ，ln2] [1-4a-3a2，-4a]
所以
又a≤-1，得a≤- 。……………………………………………………12分
20. 解：（Ⅰ）∵AD // BC，BC= AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ 平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………………6分
另证：AD // BC，BC= AD，Q为AD的中点，
∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．
∵ PQ∩BQ=Q， ∴AD⊥平面PBQ．
∵ AD 平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．………………………6分
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为 ；
， ， ， ．
设 ，则 ，
，
∵ ，
∴ ， ∴ …………………9分
在平面MBQ中， ， ，
∴ 平面MBQ法向量为 ．
∵二面角M-BQ-C为30°， ∴ ，
∴ ．……………………………………………………12分
21、解：(1)易得 ， ， ，设 则
直线PA与BE交于C，
故 ， ①
且 ，② ………………2分
①②相乘得 又因为点P(异于A，B)是圆O上的动点，故
即 ， 要使 为定值，则 解得 此时
即 时，点C的轨迹曲线E的方程为 ………………6分
（2）联立 消 得
，即 …………（8分）
设Q( ）， ，则
由韦达定理有
直线 的方程为
令 ，得
将（1），（2）代人上式得 ，……………………（10分）
又
=
=
=18
=18
当 时取得。……………………（13分）
22、解: (Ⅰ)令
则
（i）当
若 是减函数，所以
即 上不恒成立.
（ii）当
若 是增函数，所以
即 时，
综上所述，所求a的取值范围为 …………（4分）
（II）由（I）可知：当 时，有
令 有 且当
令 ，
即
将上述n个不等式依次相加得
整理得
……………（9分）
(Ⅲ)由重要不等式 ,令 ，得 ，
通过累加可得 1+ + +…+ ，
所以 >1+ + +…+ ＞㏑(n+1)+
令n=2014,得8.6079 ln2014+1>S>ln2015+ 8.1
所以S的整数部分为8 …… …… （14分）
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