静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测
数学（文）试卷
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 计算： .
2. 已知集合 ， ，则 .
3. 已知等差数列 的首项为3，公差为4，则该数列的前 项和 .
4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.
5. 不等式 的解集是 .
6. 设 ，则 .
7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积是 .
8. 已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 轴的正半轴上，终边在射线 （ ）上，则 .
9. 已知两个向量 ， 的夹角为 ， ， 为单位向量， ，若 ，则 .
10. 已知两条直线的方程分别为 ： 和 ： ，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.
11. 若 ， 是一二次方程 的两根，则 .
12. 直线 经过点 且点 到直线 的距离等于1，则直线 的方程是 .
13. 已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是 .
14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为 ，则 的取值范围是 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 在下列幂函数中，是偶函数且在 上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知直线 ： 与直线 ： ，记 . 是两条直线 与直线 平行的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
17. 已知 为虚数单位，图中复平面内的点 表示复数 ，
则表示复数 的点是（ ）
A. B. C. D.
18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）
A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 8个
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在锐角 中， 、 、 分别为内角 、 、 所对的边长，且满足 .
（1）求 的大小；
（2）若 ， 的面积 ，求 的值.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费 （元）与行车里程 （公里）之间的函数关系式 .
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图，正方体 的棱长为2，点 为面 的对角线 的中点. 平面 交 与 ， 于 .
（1）求异面直线 与 所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥 的体积.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知函数 （其中 ）.
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数 的反函数 ；
（3）若两个函数 与 在闭区间 上恒满足 ，则称函数 与 在闭区间 上是分离的.
试判断函数 与 在闭区间 上是否分离？若分离，求出实数 的取值范围；若不分离，请说明理由.
23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
在数列 中，已知 ，前 项和为 ，且 .（其中 ）
（1）求 ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，问是否存在正整数 、 （其中 ），使得 、 、 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 ；否则，说明理由.
静安区2014学年第一学期期末教学质量检测
高三年级数学（文科）试卷答案
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 计算： .
解： .
2. 已知集合 ， ，则 .
解： .
3. 已知等差数列 的首项为3，公差为4，则该数列的前 项和 .
解： .
4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.
解：45.
5. 不等式 的解集是 .
解： .
6. 设 ，则 .
解：256.
7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积是 .
解： .
8. 已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 轴的正半轴上，终边在射线 （ ）上，则 .
解： .
9. 已知两个向量 ， 的夹角为 ， ， 为单位向量， ，若 ，则 .
解：-2.
10. 已知两条直线的方程分别为 ： 和 ： ，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.
解： （或 或 ）.
11. 若 ， 是一二次方程 的两根，则 .
解：-3.
12. 直线 经过点 且点 到直线 的距离等于1，则直线 的方程是 .
解： 或 .
13. 已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是 .
解： .
14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为 ，则 的取值范围是 .
解： .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 在下列幂函数中，是偶函数且在 上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
解：D.
16. 已知直线 ： 与直线 ： ，记 . 是两条直线 与直线 平行的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
解：B.
17. 已知 为虚数单位，图中复平面内的点 表示复数 ，
则表示复数 的点是（ ）
A. B. C. D.
解：D.
18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）
A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 8个
解：C.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在锐角 中， 、 、 分别为内角 、 、 所对的边长，且满足 .
（1）求 的大小；
（2）若 ， 的面积 ，求 的值.
解：（1）由正弦定理： ，得 ，∴ ，（4分）
又由 为锐角，得 .（6分）
（2） ，又∵ ，∴ ，（8分）
根据余弦定理： ，（12分）
∴ ，从而 .（14分）
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费 （元）与行车里程 （公里）之间的函数关系式 .
解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）
（2） .
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图，正方体 的棱长为2，点 为面 的对角线 的中点. 平面 交 与 ， 于 .
（1）求异面直线 与 所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥 的体积.
解：（1）∵ 点 为面 的对角线 的中点，且 平面 ，
∴ 为 的中位线，得 ，
又∵ ，∴ ，（2分）
∵ 在底面 中， ， ，∴ ，
又∵ ， 为异面直线 与 所成角，（6分）
在 中， 为直角， ，∴ .
即异面直线 与 所成角的大小为 .（8分）
（2） ，（9分）
，（12分）
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知函数 （其中 ）.
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数 的反函数 ；
（3）若两个函数 与 在闭区间 上恒满足 ，则称函数 与 在闭区间 上是分离的.
试判断函数 与 在闭区间 上是否分离？若分离，求出实数 的取值范围；若不分离，请说明理由.
解：（1）∵ ，∴ 函数 的定义域为 ，（1分）
又∵ ，
∴ 函数 是奇函数.（4分）
（2）由 ，且当 时， ，
当 时， ，得 的值域为实数集.
解 得 ， .（8分）
（3） 在区间 上恒成立，即 ，
即 在区间 上恒成立，（11分）
令 ，∵ ，∴ ，
在 上单调递增，∴ ，
解得 ，∴ .（16分）
23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
在数列 中，已知 ，前 项和为 ，且 .（其中 ）
（1）求 ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，问是否存在正整数 、 （其中 ），使得 、 、 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 ；否则，说明理由.
解：（1）∵ ，令 ，得 ，∴ ，（3分）
或者令 ，得 ，∴ .
（2）当 时， ，
∴ ，∴ ，
推得 ，又∵ ，∴ ，∴ ，
当 时也成立，∴ （ ）.（9分）
（3）假设存在正整数 、 ，使得 、 、 成等比数列，则 、 、 成等差数列，故 （**）（11分）
由于右边大于 ，则 ，即 ，
考查数列 的单调性，∵ ，
∴ 数列 为单调递减数列.（14分）
当 时， ，代入（**）式得 ，解得 ；
当 时， （舍）.
综上得：满足条件的正整数组 为 .（16分）
（说明：从不定方程 以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）
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