衡阳市八中2015届高三上学期第六次月考试题
数学（理）
注意事项：请本卷共21道小题，满分150分，时间120分钟。
一、选择题（每小题5分，共10小题，满分50分）
1．设集合 ， ，则（ A ）
A. B． C． D．
【解析】∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ .
2．复数 等于（ C ）
A． B． C． D．
【解析】
3．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有
入选的不同选法的种数为( C )
A．85 B．56 C．49 D．28
【解析】丙没有入选共 种,其中甲乙都没有入选有 种,故共 种.
4. 已知命题 命题 则下列命题中为真
命题的是( B )
A. B. C. D.
【解析】考察函数图象可知: 命题 为假命题，命题
为真命题，所以 为真命题.
5. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则实数 等于( A )
A． B． C．5 D．3
【解析】由正态曲线的对称性知 , .
6． 中，“角 成等差数列”是“ ”的（ A ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】
; 角 成等差数列 .
7．图一是某校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如
A2表示身高在 内的人数）。图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算
法流程图。现要统计身高在 内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的
条件及输出的 值分别是（ C ）
A．
B．
C．
D．
【解析】身高在
内的学生人数为
450+550+500+350=1850,
共四组.
8.已知函数 为自然对数的底数)与 的图象上存在关于
轴对称的点，则实数 的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
【解析】已知即为方程 在 上有解.
设 ，求导得：
， 在 有唯一的极值点
，且知
故方程 在 上有解等价于 .
从而 的取值范围为 .
9．如图，用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，
将表面积为 的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋
巢底面的距离为( D )
A． B．
C． D．
【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.
鸡蛋的表面积为 ，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为 .而截
面到底面的距离即为三角形的高 ，所以球心到底面的距离为 .
10．已知 都是定义在 上的函数， ， ，且
，且 ， ．若数列 的前 项和大于 ，则 的最小值
为（ A ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴数列 为等比数列，∴ ，∴ ，即 ，
所以 的最小值为6，
二、选择题（每小题5分，共7小题，满分35分）
11. 设二项式 的展开式中常数项为 ，则 ＝ ．
【答案】 ．
【解析】由二项式定理可知,展开式的第 项为 ，令 ，则 ，∴ ．
12.记集合 和集合 表示的平面区域分别为 ，若在区域 内任取一点 ，则点 落在区域 的概率为 .
【答案】
【解析】 为圆心在原点，半径为4的圆面． 是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点．若在区域 内任取一点 ，则由几何概型可知点M落在区域 的概率为 .
13. 已知点 是锐角 的外心， . 若 ，
则
【答案】
【解析】如图， 点在 上的射影是点 ，它们分别为 的中点，由数量积的几何意义，可得
，
依题意有:
，即 ，
，即
将两式相加可得： .
14.设 ，则函数 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为 ， ，
函数 ，
当且仅当 等号成立. 故最大值为 ．
15. 已知函数 是 上的增函数.当实数 取最大值时，若存在点 ，使得过点 的直线与曲线 围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点 的坐标为 .
【答案】
【解析】由 得 .
是 上的增函数， 在 上恒成立，即 在 上恒成立。设 ， ，即不等式 在 上恒成立.
设 ， 因为 ，所以函数 在 上单调递增，因此 。 ，即 。又 ，故 。 的最大值为3. 故得 ， 。将函数 的图像向上平移3个长度单位，所得图像相应的函数解析式为 ， 。
由于 ，所以 为奇函数，故 的图像关于坐标原点成中心对称。由此即得函数 的图像关于点 成中心对称。这表明存在点 ，使得过点 的直线若能与函数 的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。
三、解答题（本大题共6小题, 满分75分）
16、(本题满分12分)
已知 ,其中 , , .
（1）求 的单调递减区间；
（2）在 中,角 所对的边分别为 , , , 且向量 与 共线，求边长 和 的值.
【解析】(1) 由题意知 .
3分
在 上单调递减，
令 ，得
的单调递减区间 6分
(2) ， ,又 ， 即 8分
，由余弦定理得 =7. 10分
因为向量 与 共线，所以 ，由正弦定理得 . . 12 分
17、(本题满分12分)
衡阳市八中对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核,因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次.若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 、 、 ，他们考核所得的等次相互独立．
（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量 ，求随机变量 的分布列及数学期望．
【解析】（1）记“甲考核为优秀”为事件 ，“乙考核为优秀”为事件 ，“丙考核为优秀”为事件 ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 . …………2分
则 . …………5分
（2）由题意，得 的可能取值是3，4，5，6. …………6分
因为 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
3 4 5 6
…………10分
＝3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ .
…………12分
18、(本题满分12分)
如图, 的外接圆 的半径为 , 所在的平面, , ,
, 且 , .
（1）求证: 平面ADC 平面BCDE.
（2）试问线段DE上是否存在点M, 使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为 ？若存在,
确定点M的位置, 若不存在, 请说明理由.
【解析】（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD
∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB ………………1分
∵BE=1, ∴ ，
从而 …………2分
∵⊙ 的半径为 ，∴AB是直径，
∴AC⊥BC ………………3分
又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD
平面BCDE，∴平面ADC 平面BCDE ………………6分
（2）方法1：
假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF
∵平面ADC 平面BCDE，
∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角 ……9分
设MN=x，计算易得，DN= ，MF= ………………10分
故
解得： （舍去） ，…11分
故 ，从而满足条件的点 存在，且 ……………………12分
方法2：建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则 …………………………………9分
易知平面ABC的法向量为 ，假设M点存在，设 ，则 ， 再设 ，
即 ，从而 …10分
设直线BM与平面ABD所成的角为 ，则：
…11分
解得 ， 其中 应舍去，而 故满足条件的点M存在，且点M的坐标为 …………12分
19、(本题满分13分)
某旅游景区的观景台P位于高为 的山峰上(即山顶到山脚水平面M的垂直高度 )，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且 为以 为底边的等腰三角形. 山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为 ，且 . 现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段, 第二段, 第三段, …, 第n－1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn(如图所示)，C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn与AB所成的角均为 ，且 .
（1）问每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米? 若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少 ？
（2）若修建 盘山公路，其造价为 万元. 修建索道的造价为 万元 . 问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少?
【解析】(1)在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB于F，连结DF，易知DF⊥C0F. sin∠DFE＝25，sin∠DC0F＝14.
∵DF＝14C0D，DE＝25DF，∴DE＝110C0D，
所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，
所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.
从山脚至半山腰，盘山公路为10km. 从半山腰至山顶，索道长2.5km. (6分)
(2)设盘山公路修至山高x(0＜x＜2)km，则盘山公路长为10xkm，索道长52(2－x)km.
设总造价为y万元，则y＝(10x)2＋100a＋52(2－x)•22a＝(10x2＋1－52x)a＋102a.
令y′＝10axx2＋1－52a＝0，则x＝1.
当x∈(0,1)时，y′＜0，函数y单调递减；当x∈(1,2)时，y′>0，函数y单调递增，
∴x＝1，y有最小值，
即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，最小值为152a万元. (13分)
20、(本题满分13分)
已知数列 满足 .
（1）当 时，求数列 的前 项和 ；
（2）若对任意 都有 成立，求 的取值范围.
【解析】（1）由 得 ,两式相减，得 .
故数列 是首项为 ，公差为4的等差数列．数列 是首项为 ，公差为4的等差数列，
由 所以 3分
①当
5分
②当 为偶数时，
7分
（2）由（1）知，
①当 为奇数时，
由 令
解得 10分
②当 为偶数时，
由 令
解得
综上， 的取值范围是 13分
21. （本小题满分13分)
已知 为正实数， 为自然数，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ，设 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距.
（1）用 和 表示 ；
（2）求对所有 都有 成立的 的最小值；
（3）当 时，比较 与 的大小，并说明理由.
【解析】（1）由已知得交点 的坐标为 ，对 求导得 ，
则抛物线在点 处的切线方程为 ，即 ，
则 …3分
（2）由（1）知 ，则 成立的充要条件是 .
已知即 对所有 成立，特别地，取 得到 .
当 ， 时，
当 时，显然 .
故 时， 对所有自然数 都成立.
所以满足条件的 的最小值为 ……………………..8分
（3）由（1）知 ，则
下面证明：
首先证明：当 时，
设函数 , 则 .
当 时， ；当 时， ,故 的最小值 .
所以，当 时， ，即得 ,
由 知 ，因此 ，从而
…………………………………13分
点击下载：湖南省衡阳市八中2015届高三上学期第六次月考试题 数学（理）
