唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考
数学（文）试题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
2． 已知 是虚数单位， 和 都是实数，且 ，则
A． B． C． D．
3．设 是定义在R上的周期为 的函数，当x∈[－2，1)时， ，则 ＝
A． B． C． D．
4．设 则
A． B． C． D．
5．下列结论错误的是
A．命题“若 ，则 ”与命题“若 ，则 ”互为逆否命题
B．命题 ；命 ，则 为真
C．“若 ，则 ”的逆命题为真命题
D．若 为假命题，则p、q均为假命题
6．若圆 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线 和 轴都相切,则该圆的标准方程为
A． B．
C． D．
7．右图中， 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， 为该题的最终得分，当 时， 等于
A． B． C． D．
8．下列函数最小正周期为 且图象关于直线 对称的函数是
A． B．
C． D．
9．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则过点 和 ( )的直线的一个方向向量是
A． B． C． D．
10．设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为12，则 的最小值为
A． B． C． D．4
11．在 中， 若 ，求 周长的取值范围
A． B． C． D．
12．若曲线 与曲线 存在公共切线，则 的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．
13．已知 ，且 ，则 ________．
14．若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为 ．
15．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为
（单位 ） ．
16．已知 ， ， ，动点 满足 且 ，则点 到点 的距离大于 的概率为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且
（Ⅰ）求证数列 是等差数列；
（Ⅱ）设 求
18．（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 ⊥底面 , , 分别为 上的动点，且 ．
（Ⅰ）若 ，求证： ∥
（Ⅱ）求三棱锥 体积最大值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点．
（Ⅰ）若 轴与以 为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线 与 轴负半轴相交，求 面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当 时，判断函数 的单调区间并给予证明；
（Ⅱ）若 有两个极值点 ，证明： ．
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
已知 外接圆劣弧 上的点（不与点 重合）,延长 至 ,延长 交 的延长线于 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： ．
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 （ 为参数）．
（Ⅰ）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴的交点是 ， 是曲线 上一动点，求 的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知 ，对 ， 恒成立，求 的取值范围．
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）
文科数学
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
命题人： 刘敏 审核人：马焕新、冯伟记
第I卷（选择题，共60分）
一、1-5 BDDCC 6-10 BCBAD 11-12 AC
二、13． 14． 15． 16．
三、17．解：（Ⅰ） ①
②
①-②得： 整理得：
数列 的各项均为正数，
时， 数列 是首项为 公差为 的等差数列 6分
（Ⅱ）由第一问得
12分
18．(1) ……………2分
………………4分
解得 =179 所以污损处是9.………………6分
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分
而事件A含有4个基本事件，………………10分
∴P(A)＝410＝25………………12分
19．
(1)分别取 和 中点 、 ，连接 、 、 ，则 , ,所以 , 四边形 为平行四边形． ,又 ∥ ．…………4分
(2)在平面 内作 ,
因为侧棱 ⊥底面 ,
所以平面 ⊥底面 ,且平面 底面 ,
所以 ,所以 ．…………7分
（或平面 中， 所以 ）
因为 ,所以 ．
, ,…………10分
…………12分
的最大值为
20．解：（Ⅰ）联立 ，消 并化简整理得 ．
依题意应有 ，解得 ．
设 ，则 ，
设圆心 ，则应有 ．
因为以 为直径的圆与 轴相切，得到圆半径为 ，
又 ．
所以 ，
解得 ．
所以 ，所以圆心为 ．
故所求圆的方程为 ．
（Ⅱ）因为直线 与 轴负半轴相交，所以 ，
又 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知 ，所以 ，
直线 ： 整理得 ，点 到直线 的距离 ，
所以 ． 令 ， ，
，
＋ 0 －
极大
由上表可得 的最大值为 ．所以当 时， 的面积取得最大值 ．
21．解：（Ⅰ） 时， 易知 从而 为单调减函数．………………４分
（Ⅱ） 有两个极值点 ，
即 有两个实根 ，所以
，得 ．
，得 ．………………6分
又 ，
所以 ………………8分
，得
………………10分
，
………………12分
另解： 由两个实根， ，
当 时， 所以 单调递减且 ，不能满足条件．
当 时， 所以 单调递减且
当 时， 所以 单调递增且 ，
故当 时， ，当 时 ，当 时② ，所以 由两个实根需要 ．即
即 ， ，从而可以构造函数解决不等式的证明．
有两个实根 ， 不是根，所以 由两个实根， ，
当 时， 所以 单调递减且 ，不能满足条件．
当 时， 所以 单调递减且
当 时， 所以 单调递增且 ，
故当 时， ，当 时 ，当 时② ，所以 由两个实根需要 ．即
即 ， ，从而可以构造函数解决不等式的证明．
22解：(Ⅰ)证明： 、 、 、 四点共圆
．………………2分
且 ,
…………4分
．………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,又 ,
所以 与 相似,
，…………7分
又 , ，
根据割线定理得 ，……………9分
．……………10分
23．解：（Ⅰ）曲线 的极坐标方程可化为
……………………………………………2分
又 ，[
所以曲线 的直角坐标方程为 …………4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得 … ………6分
令 ，得 ，即 点的坐标为(2，0)．
又曲线 为圆，圆 的圆心坐标为(1，0)，半径 ，则 … ……8分
所以 ………………………10分
24．解：∵ a＞0，b＞0 且a+b=1 ∴ + =(a+b)( + )=5+ + ≥9
，故 + 的最小值为9，……5分
因为对a，b∈(0，+∞)，使 + ≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，
∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜ 时，-3x≤9，
∴ -1＜x＜ ，当 x≥ 时，x-2≤9， ∴ ≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分
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