云南省部分名校高2015届1月份统一考试
理科数学试卷
命题 昆明三中高三年级数学备课组
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则 （ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
2．集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．
3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在 上单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量 ，其中 ，且 ，则向量 与 的夹角是（ ）
A． B. C. D.
5．执行如图所示的程序框图,输出的S值为 时，则输入的 的值为（ ）
A. B.
C. D.
6. 实数x，y，k满足 ， ，若 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知函数① ,② ,则下列结论正确的是( )
A．两个函数的图象均关于点 成中心对称图形.
B．两个函数的图象均关于直线 成轴对称图形.
C．两个函数在区间 上都是单调递增函数.
D．两个函数的最小正周期相同.
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ,若△ABC的面积为 ,且 , 则 等于 （ ）
A. B. C. D.
9.已知P是△ABC所在平面内一点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是 （ ）
A. B. C. D.
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A. B. C. D.60
11.抛物线 （ ＞ ）的焦点为 ，已知点 、 为抛物线上的两个动点，且满足 .过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为 ( )
A. B. 1 C. D. 2
12.已知函数 满足 , 当 时, ,若在区间 内,曲线 与 轴有三个不同的交点,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）
13.已知 ,那么 展开式中含 项的系数为________________.
14.已知圆 ,直线 上动点 ,过点 作圆 的一条切线,切点为 ,则 的最小值为_________.
15．观察下列等式： 根据上述规律，第 个等式为 .
16．表面积为 的球面上有四点S、A、B、C，且 是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为 ，若平面 平面 ,则棱锥 体积的最大值为 .
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知数列 的前 项和 和通项 满足 ,数列 中， , .
（Ⅰ）求数列 , 的通项公式；
（Ⅱ）数列 满足 ，求证： .
18. （本小题满分12分）
云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布 .现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人中任意抽取2人，该2人
中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为 ，求 的数学期望．
参考数据：
若 ．则
=0.6826，
=0.9544,
=0.9974.
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱 中，已知 ， ， ， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）设 ( )，且平面 与 所成的锐二面角的大小为 ，试求 的值.
20．（本小题满分12分）
如图，已知椭E: 的离心率为 ，且过点 ，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O， .
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）求证：四边形ABCD的面积为定值.
21．（本小题满分12分）
已知函数 .
（Ⅰ）若函数 在 上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）若 ，使 成立，求实数a的取值范围.
请考生在第23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
23. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，以O为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线 的普通方程；
（Ⅱ）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线 的距离的最小值.
24. （本小题满分10分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的定义域；
（Ⅱ）若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围.
云南省部分名校高2015届1月份统一考试
理科数学参考答案
1-4 ADCB 5-8 DBCC 9-12 DAAC
13.135 14.2 15. 16. 27
17.解.（Ⅰ）由 ，得
当 时，
即 （由题意可知 ）
是公比为 的等比数列，而
，
由 ，得
（2） ，设 ，则
由错位相减，化简得：
18.解：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为
高于全市的平均值170.5（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………（6分）
（Ⅲ） ，
，0.0013×100 000=130.
所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人.
随机变量 可取 ，于是
, ,
. ………………………………（12分）
19．解：（Ⅰ）因为侧面 ,
侧面 ，故 ,在 中,
由余弦定理得：
，
所以 ， 故 ,所以 ,而
， 平面
（2）由（Ⅰ）可知， 两两垂直.以 为原点， 所在直线为
轴建立空间直角坐标系.
则 .
所以 ,所以 ,
则 ， . 设平面 的法向量为 ，
则 , ，
令 ，则 ， 是平面 的一个法
向量.
平面 , 是平面 的一个法向量，
.
两边平方并化简得 ，所以 或 （舍去）
20．解：（Ⅰ）
当直线AB的斜率存在时，设
由
.………………..4分
.
………………..6分
，
所以 的范围是 .………………..8分
………………..10分
………………..12分
21．（Ⅰ）因 在 上为减函数，故 在 上恒成立．
所以当 时， ．
又 ，
故当 ，即 时， ，
所以 ，故
所以 的最小值为 .
（Ⅱ）“若 ，使 成立”等价于
当 时，有 ，
当 时，有 ，
问题等价于：“当 时，有 ”
①当 时， 在 上为减函数.
则 ，故 .
②当 时，由于 在 上为增函数，
故 的值域为 ，即 ．
由 的单调性和值域知，存在唯一 ，使 ，且满足：
当 时， 为减函数；
当 时， 为增函数；
所以 ， ．
所以 ，与 矛盾，不合题意．
综上，
23.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：
即：
直线 的普通方程为 4分
（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的 ，得
即
再将所得曲线向左平移1个单位，得 ：
又曲线 的参数方程为 （ 为参数），设曲线 上任一点
则 （其中 ）
点 到直线 的距离的最小值为 .
24.
对值不等式的性质得解。
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