绝密★启用前
株洲市2015届高三年级教学质量统一检测（一）
数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题。本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上．
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3. 设数列{an}是等比数列，函数y=x2－x－2的两个零点是 ，则 =（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
4. 程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的
结果是（ ）
A． B． C． D．
5. 已知条件p：k= ；条件q：直线y= kx+2与圆x2+y2=1相切，
则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上
单调性也相同的是( )
A．y＝－1x B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
7. 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A．63 B．2 65 C．155 D．105
8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的
正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )
9. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角的余弦值为 ，双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为 ，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10. 在 中，若角 所对的三边 成等差数列，给出下列结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卷上．
11．直角坐标系xOy中，点A，B分别在曲线 （ 为参数）上，则|AB|的最大值为 .
12．向量 ， ，且 ∥ ，则 .
13．记集合 和集合 表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2内的概率为 .
14．如右图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别
在函数y= 的图像上，且矩形的边分别
平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是
15．在边长为2的菱形 中， ，对角线 与 相较于 ，点 是线段 的一个三等分点，则 等于 .
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
17.（本题满分12分）
已知函数 .
（I）当 时，求函数 的最大值；
（II）若 ，求 的值.
18.（本题满分12分）
如图所示的多面体 中，底面 为正方形， // // ， ，且 ．
（Ⅰ）求证： // ；
（Ⅱ）求多面体 的体积 ．
19.（本题满分13分）
已知数列 是正数等差数列，其中 ，且 成等比数列；数列 的前 项和为 ，满足 .
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（II）如果 ，设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 成立，若存在，求出 的最小值，若不存在，说明理由.
20.（本题满分13分）
如图，点 分别是椭圆C: 的左、右焦点，过点 作 轴的垂线，交椭圆 的上半部分于点 ，过点 作 的垂线交直线 于点 .
（Ⅰ）如果点 的坐标为（4,4），求椭圆 的方程；
（II）试判断直线 与椭圆 的公共点个数，并证明你的结论.
21.（本题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（II）若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，对于任意的 ，函数 在区间 上总不是单调函数，求 的取值范围；
（Ⅲ）求证： .
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株洲市2015届高三年级教学质量统一检测（一）
数学试题（文科）答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题。本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上．
1.已知集合 ， ，则 （ C ）
A． B． C． D．
2. 命题“ ， ”的否定是（ B ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3. 设数列{an}是等比数列，函数y=x2－x－2的两个零点是 ，则 =（ D ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
4. 程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的
结果是（ A ）
A． B． C． D．
5. 已知条件p：k= ；条件q：直线y= kx+2与圆x2+y2=1相切，
则p是q的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上
单调性也相同的是( C )
A．y＝－1x B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
7. 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
A．63 B．2 65 C．155 D．105
8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长
为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( B )
9. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角的余弦值为 ，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为 ，则双曲线的离心率等于（ C ）
A． B． C． D．
10. 在 中，若角 所对的三边 成等差数列，给出下列结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中正确的结论是（ D ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卷上．
11．直角坐标系xOy中，点A，B分别在曲线 （ 为参数）上，则|AB|的最大值为 2 .
12．向量 ， ，且 ∥ ，则 .
13．记集合 和集合 表示的平
面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2内的概率
为 .
14．如右图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别
在函数y= 的图像上，且矩形的边分别
平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是
15．在边长为2的菱形 中， ，对角线 与 相交于 ，点 是线段 的一个三等分点，则 等于 2 .
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
解析：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：
………3分
所以各地区抽取商品数为： ， ， ；……6分
（Ⅱ）设各地区商品分别为： ………7分
6件样品中随机抽取2件的基本事件为：
，共15个.……9分
2件商品来自相同地区的基本事件为： …11分
记“这两件商品来自同一地区的事件”为A，则它的概率为： .……12分
17.（本题满分12分）
已知函数 .
（I）当 时，求函数 的最大值；
（II）若 ，求 的值.
【解析】
.…………3分
(Ⅰ)因为 ，所以 ，所以当 时， .…7分
（Ⅱ）由 ，知 ，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以
.…………12分
18.（本题满分12分）
如图所示的多面体 中，底面 为正方形， // // ， ，且 ．
（Ⅰ）求证： // ；
（Ⅱ）求多面体 的体积 ．
19.（本题满分13分）
已知数列 是各项均为正数的等差数列，其中 ，且 成等比数列；数列 的前 项和为 ，满足 .
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（II）如果 ，设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 成立，若存在，求出 的最小值，若不存在，说明理由.
（Ⅰ）设数列 的公差为 ，依条件有 ，
即 ，解得 （舍）或 ，
所以 .…………2分
由 ，得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 .………5分
（2）由（1）知， ，
所以 ①
②
得 .…………9分
又 .
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，所以 ，
故所求的正整数 存在，其最小值是2. …………13分
20.（本题满分13分）
如图，点 分别是椭圆C: 的左、右焦点，过点 作 轴的垂线，交椭圆 的上半部分于点 ，过点 作 的垂线交直线 于点 .
（Ⅰ）如果点 的坐标为（4,4），求椭圆 的方程；
（II）试判断直线 与椭圆 的公共点个数，并证明你的结论.
解方程组 ，得 点的坐标为 ，
，
, ， ，
将 代入上式解得 ， .…………4分
（1）因为 点的坐标为 ，所以 ，解得
，
.…………7分
（2） 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，
，
，即 ，…………9分
，
，而 ，
上式可化为 ，解得 ，
所以直线 与椭圆 只有一个公共点. …………13分
21.（本题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（II）若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，对于任意的 ，函数 在区间 上总不是单调函数，求 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
解析：（1） ，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 不是单调函数；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ……4分
（2）由 ，得 ，
，
所以 ，
所以 ，
因为 在区间 上总不是单调函数，且 ，所以 ，
由题意知，对于任意的 ， 恒成立，
所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ……9分
（3）令 ，所以 ，
所以 ，
由（1）知 在 上单调递增，
所以当 时， ，
即 ，
所以 对一切 成立，
因为 ，则有 ，
所以 ，
故 ……13分
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