2014年11月宁远、江华高三联考试卷
数学（文科）
注意事项：
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分共4页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的代号填入答题卡内）
1．已知集合 ,则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．复数 的模为（ ）
A．1 B． C. 2 D.
3.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为 （ ）
4．在边长为 的正方形 内任取一点 ，则点 到点 的距离小于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A．28 B．21 C．14 D．35
6． 中，角 的对边分别为 ，则“ ”是“ 是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ）
A. B.
C. D.
8．平面向量 与 的夹角为 ， ,则 = （ ）
A．7 B． C．3 D．
9. 设 是双曲线 的两个焦点，P是双曲线上的一点，且
则 的面积等于（ ）
A. B. C. 24 D.
10.给定区间 ，对于函数 及任意的 （其中 ），若不等式
恒成立，则称函数 是相对于函数 在区间上的
“渐进函数”， 已知 是相对于函数 在区间 上的
“渐进函数”，则实数 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分,请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
11.已知命题 : ，则 ：
12.将某组样本数据按[7.5，8.5），[8.5，9.5），
[9.5，10.5]分成3组，其频率分布直方图如图
所示，由此估计这组样本数据的众数是 ．
13. 在极坐标系中，曲线 和 相交
于点 ，则 ＝
14. 已知 是坐标原点，点 ，若 为平面区域
上的一个动点，则 的最小值是
15．已知
（1）根据以上等式，猜想出一般的结论_ ；
（2）若数列 中，
的前 项和 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本大题满分12分）已知函数 ,
(1)求函数 的最小正周期;
(2)求函数 在区间 上的值域.
17．（本大题满分12分）如图，四棱锥 的底面是正方形， ，
点E在棱PB上.
（1）求证：平面 ；
（2）当 ,且E为PB的中点时，
求AE与平面PDB所成的角的大小.
18．（本大题满分12分）据有关规定，汽车尾气中 （二氧化碳）的排放量超过130 g／km，视为排放量超标．某市环保局对甲、 乙两型品牌车各抽取5辆进 行CO2排放量检测，所得数据如下表所示（单位：g／km）．其中有两辆乙型车的检测数据不准确，在表中用x，y表示.
甲型车 80 110 120 140 150
乙型车 100 120 x y 160
（1）从被检测的5辆甲型车中任取2辆，求这2辆车CO2排放量都不超标的概率；
（2）若5辆乙型车CO2排放量的平均值为120 g/km，且80<x<130，求乙型车CO2排放量的方差的最小值，
19．（本大题满分13分）已知等差数列 首项 ，公差 ，且 恰好是等比数列 的前3项。
（1）求数列 与 的通项公式。
（2）若数例 对于任意自然数 均有 ，求数列 的前 项和
20．（本大题满分13分） 已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 交椭圆 于 、 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本大题满分13分）已知函数 为自然对数的底数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意的 ，均有 ，求 的取值范围．
2014年11月宁远、江华高三联考试卷数学文科
参考答案及评分标准
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1—10：C BBCA ADDCA
二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 12. 9
13. 14. 1
15.（1） ；
（2） 10 （填对一个给3分）
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．解：（1）∵ =
∴函数 的最小正周期 ………………………………6分
（2）∵ ∴ ………………………………8分
∴ ………………………………………………10分
∴ ………………………………………………………11分
∴函数 在区间 上的值域为 ……………………12分
17. 解：（1）连接AC、BD，交点设为O
即
又 是正方形，所以
又 ............................................................................................4分
，且 ........................................................5分
平面 .......................................................................................6分
（2）
为AE与平面PDB所成的角................................................................8分
设正方形 边长为 ，则PD= ，则 .....9分
在 中， ..............................11分
故直线AE与平面PDB所成的角为 .............................................................12分
18.解：（1）从被检测的5辆甲型车中任取2辆，其检测结果有：
（80，110），（80，120），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150）
（120，140），（120，150），（140，150）共10种................................................3分
设：“ 排放量都不超标”为事件A，则事件A 包含以下3种不同结果：
（80，110），（80，120），（110，120）.
所以 ......................................................................................................6分
（2）由题设，100+120+x+y+160= ，则x+y=220...........................................8分
所以方差
=
.........................................................................................11分
因为 ，所以当 时， 取最小值440..............................12分
19．解: （1）由题意知， ，故 …………2分
又 ，故 ，又 ，所以 ……………………………4分
∴ ……………………………………6分
（2） ∵ ...........................................……8分
∴ ..................................................………10分
……………........................................13分
20．解：（1） ，所以椭圆的方程为 ............................................5分
（2）当 与 轴平行时， ，从而以 为直径的圆的方程为 ①当 与 轴垂直时， ，从而以 为直径的圆的方程为 ②
联立①②得， ，即两圆相切于点 ，因此所求的 点如果存在，只能是
......................................................................................................................................................8分
事实上， 就是所求的点，证明如下：
当直线 与 轴垂直时，以 为直径的圆过点 ，
当直线 与 轴不垂直时，设 的方程为 ，由 消去 得
，设点 ，则 ，
又 .....................................................................................10分
................................................12分
，即以 为直径的圆恒过定点
所以在坐标平面上存在一个点 满足条件..................................................................13分
21．解：（1）
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.........................................................................................................3分
综上可知，当 时， 的单调增区间是 ；
当 时， 的单调增区间是 ， 的单调减区间是 ．..........................................................................................................................5分
（2）当 时， 即 恒成立，等价于 恒成立令 ，则 ，当且仅当 时，等号成立..................................................................................................7分
①当 时， ， 在 上是增函数，故 恒成立；
....................................................................9分
②当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，
在 上是增函数
故 恒成立.................................................................................................11分
③当 时，方程 的正根为 ，此时，若 ，
则 ，故 在该区间为减函数，所以当 时， ，
这与 恒成立矛盾
综上可知，满足条件 的取值范围是 ..................................13分
点击下载：湖南省宁远、江华两县2015届高三第一次联考文科数学试卷
